Sejam
e
uma aplicação contínua.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto
pode ser imagem de
.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto
Passo 1
O enunciado diz que temos
e uma aplicação contínua
. Queremos saber se é possível ter
Para isso vamos usar que a imagem contínua de um espaço compacto e conexo é também compacta e conexa.
Passo 2
Definimos
Como
, vemos que
é exatamente o segmento fechado de
a
. Esse segmento é compacto (fechado e limitado) e conexo (é um intervalo real).
Passo 3
Basta agora construir uma aplicação contínua
que leve cada ponto de
num ponto de
de forma sobrejetora. Por exemplo, em coordenadas
definimos
Essa
é claramente contínua. Como
percorre todo o intervalo
em
,
percorre todo
. Logo
Resposta
Sim. Por exemplo,
é contínua e satisfaz
.