Sejam S^{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\right\} e f: S^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma aplicação contínua.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \cap\{(x, 0): x \in \mathbb{R}\} pode ser imagem de f.

Passo 1

O enunciado diz que temos S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\} e uma aplicação contínua f\colon S^{1}\to\mathbb{R}^{2}. Queremos saber se é possível ter
f(S^{1}) \;=\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le2\}\,\cap\,\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Para isso vamos usar que a imagem contínua de um espaço compacto e conexo é também compacta e conexa.

Passo 2

Definimos
K \;=\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le2\}\,\cap\,\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Como \{(x,0)\mid x^{2}\le2\}=\{(x,0)\mid -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\}, vemos que K é exatamente o segmento fechado de (-\sqrt{2},0) a (\sqrt{2},0). Esse segmento é compacto (fechado e limitado) e conexo (é um intervalo real).

Passo 3

Basta agora construir uma aplicação contínua f que leve cada ponto de S^1 num ponto de K de forma sobrejetora. Por exemplo, em coordenadas (x,y)\in S^1 definimos
f(x,y) = (\sqrt{2}\,x,\,0).
Essa f é claramente contínua. Como x percorre todo o intervalo [-1,1] em S^1, \sqrt{2}\,x percorre todo [-\sqrt{2},\sqrt{2}]. Logo
f(S^1)=\{(\sqrt{2}\,x,0)\mid x\in[-1,1]\} =\{(x,0)\mid x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\}=K.

Resposta

Sim. Por exemplo,
f(x,y)=(\sqrt{2}\,x,0)
é contínua e satisfaz f(S^1)=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le2\}\cap\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.

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