- Sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá os subespaços (peguei as definições do próprio enunciado):
O que é pedido: mostrar que
Para que isso seja verdade precisamos verificar duas coisas precisas:
-
e são subespaços de . - Todo vetor de
pode ser escrito como soma de um vetor de e um vetor de (ou seja, ) e essa decomposição é única, o que é equivalente a .
Passo 2
Mostrando que
é subespaço (passo a passo didático):
- Primeiro,
contém o vetor nulo: satisfaz , logo . - Seja
e . A soma é que tem todas as componentes iguais, logo . - Para
,
Portanto
é fechado em soma e multiplicação escalar e contém
, logo
é subespaço.
Passo 3
Mostrando que
é subespaço:
- O vetor nulo
tem terceira componente zero, então está em . - Seja
e . Então - Para
,
Logo
também é subespaço.
Passo 4
Existência da decomposição (
). Tome um vetor arbitrário
Vou construir explicitamente
e
tais que
. Defina
Verificações:
-
tem todas as componentes iguais, logo . -
tem terceira componente , logo . - A soma é
Assim qualquer
é soma de um elemento de
e de um de
. Portanto
.
Passo 5
Interseção trivials (
). Seja
. Então
implica que
para algum
. Também
implica que a terceira componente de
é
. Assim
. Logo
. Portanto a interseção contém apenas o vetor nulo:
Passo 6
Unicidade da decomposição (consequência da interseção trivial). Se houver duas decomposições
com
e
, então
O lado esquerdo pertence a
(diferença de elementos de
) e o lado direito pertence a
. Portanto
. Como essa interseção é
, segue
, ou seja
e então
. Assim a decomposição é única.
Passo 7
Conclusão: já mostramos que
e
são subespaços, que
e que
. Esses três fatos equivalem precisamente a afirmar que