Sejam
e
. Obtenha:
b) uma base e a dimensão de
.
b) uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
O que se pede: uma base de
e a dimensão de
. Informação útil já presente: todo
é um polinômio de grau no máximo 4 que satisfaz
.
Passo 2
Vamos usar o fato elemental sobre restos da divisão de polinômios (teorema do resto): ao dividir um polinômio
por
existe polinômio
e constante
tais que
A razão é a divisão euclidiana de polinômios: o resto tem grau menor que o divisor, aqui menor que 1, logo é uma constante
.
Passo 3
Avalie a igualdade do passo anterior em
. Como
(hipótese de
), obtemos
Logo
. Concluímos que todo
é múltiplo exato de
:
Passo 4
Determine o grau de
. Como
tem grau no máximo 4, e
tem grau 1, o polinômio
tem grau no máximo 3, isto é
. Portanto podemos escrever de forma paramétrica
com
, e assim
Isso mostra que
.
Passo 5
A partir da escrita acima proponho a coleção de polinômios
Mostro que
gera
: dado
, temos
logo
é combinação linear dos elementos de
.
Passo 6
Agora provamos que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
Fatorando
obtemos
Como o polinômio
não é o polinômio zero, o produto é o polinômio zero somente se o fator entre parênteses for o polinômio zero. Como
são linearmente independentes, segue que
. Portanto
é linearmente independente.
Passo 7
Tendo mostrado que
gera
e é linearmente independente,
é uma base de
. Como
tem 4 elementos, concluímos que