Sejam U=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) / p(0)=p(1)=0\right\} e W=\left\{q(t) \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) / q(-1)=\right. 0\}. Obtenha:
b) uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{\,q(t)\in\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \mid q(-1)=0\,\}.
O que se pede: uma base de W e a dimensão de W. Informação útil já presente: todo q\in W é um polinômio de grau no máximo 4 que satisfaz q(-1)=0.

Passo 2

Vamos usar o fato elemental sobre restos da divisão de polinômios (teorema do resto): ao dividir um polinômio q(t) por (t+1) existe polinômio s(t) e constante r tais que
q(t)=(t+1)s(t)+r.
A razão é a divisão euclidiana de polinômios: o resto tem grau menor que o divisor, aqui menor que 1, logo é uma constante r.

Passo 3

Avalie a igualdade do passo anterior em t=-1. Como q(-1)=0 (hipótese de q\in W), obtemos
0=q(-1)=( -1+1) s(-1)+r = 0\cdot s(-1)+r = r.
Logo r=0. Concluímos que todo q\in W é múltiplo exato de (t+1):
q(t)=(t+1)s(t).

Passo 4

Determine o grau de s(t). Como q(t) tem grau no máximo 4, e (t+1) tem grau 1, o polinômio s(t) tem grau no máximo 3, isto é s(t)\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}). Portanto podemos escrever de forma paramétrica
s(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3,
com a_0,a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}, e assim
q(t)=(t+1)(a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3).
Isso mostra que W=(t+1)\,\mathcal{P}_3(\mathbb{R}).

Passo 5

A partir da escrita acima proponho a coleção de polinômios
\mathcal{B}=\{(t+1),\; (t+1)t,\; (t+1)t^2,\; (t+1)t^3\}.
Mostro que \mathcal{B} gera W: dado q(t)=(t+1)(a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3), temos
q(t)=a_0\,(t+1)+a_1\,(t+1)t+a_2\,(t+1)t^2+a_3\,(t+1)t^3,
logo q é combinação linear dos elementos de \mathcal{B}.

Passo 6

Agora provamos que \mathcal{B} é linearmente independente. Suponha que existam escalares \alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
\alpha_0(t+1)+\alpha_1(t+1)t+\alpha_2(t+1)t^2+\alpha_3(t+1)t^3\equiv 0.
Fatorando (t+1) obtemos
(t+1)\bigl(\alpha_0+\alpha_1 t+\alpha_2 t^2+\alpha_3 t^3\bigr)\equiv 0.
Como o polinômio (t+1) não é o polinômio zero, o produto é o polinômio zero somente se o fator entre parênteses for o polinômio zero. Como 1,t,t^2,t^3 são linearmente independentes, segue que \alpha_0=\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Portanto \mathcal{B} é linearmente independente.

Passo 7

Tendo mostrado que \mathcal{B} gera W e é linearmente independente, \mathcal{B} é uma base de W. Como \mathcal{B} tem 4 elementos, concluímos que
\dim(W)=4.

Resposta

\mathcal{B}=\{(t+1),\;(t+1)t,\;(t+1)t^2,\;(t+1)t^3\}
\dim(W)=4

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