Sejam U=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) / p(0)=p(1)=0\right\} e W=\left\{q(t) \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) / q(-1)=\right. 0\}. Obtenha:
a) uma base e a dimensão de U.

Passo 1

O que o enunciado pede: obter uma base e a dimensão do subespaço U, onde
U=\{p(t)\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) \mid p(0)=p(1)=0\}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 5.
  • Todo p\in U satisfaz as condições p(0)=0 e p(1)=0.
  • O enunciado pede dois itens: uma base explícita de U e a dimensão de U.

Passo 2

Entendendo o que significam as condições p(0)=0 e p(1)=0 (fórmula/fato usado).
  • Existe um resultado simples (teorema do resto/fator): se um polinômio p(t) satisfaz p(a)=0 então (t-a) é fator de p(t). Em palavras: raiz a implica que (t-a) divide p(t).
  • Aplicando isso ao nosso caso: p(0)=0 implica que t é fator de p(t). E p(1)=0 implica que (t-1) é fator de p(t).
  • Portanto qualquer p\in U pode ser escrito como
p(t)=t(t-1)\,r(t),
onde r(t) é um polinômio com coeficientes reais. Como p(t) tem grau \le 5 e t(t-1) tem grau 2, segue que r(t) tem grau \le 3. Ou seja r\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 3

Construindo um isomorfismo linear que simplifica a contagem de dimensão.
  • Defina a aplicação linear
\Phi:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\longrightarrow U,\qquad \Phi(r)=t(t-1)r(t).
  • Verificação rápida de linearidade: para r_1,r_2\in\mathcal{P}_3 e \alpha,\beta\in\mathbb{R},
\Phi(\alpha r_1+\beta r_2)=t(t-1)\big(\alpha r_1+\beta r_2\big)=\alpha\,t(t-1)r_1+\beta\,t(t-1)r_2=\alpha\Phi(r_1)+\beta\Phi(r_2).
  • \Phi é sobrejetora por construção: todo p\in U tem a forma t(t-1)r com r\in\mathcal{P}_3, então existe r tal que \Phi(r)=p.
  • \Phi é injetora: se \Phi(r)=0 (polinômio nulo), então t(t-1)r(t) é o polinômio identicamente zero; como t(t-1) não é o polinômio nulo e trabalhamos sobre \mathbb{R} (anel íntegro para polinômios), isso implica r é o polinômio nulo. Logo \ker\Phi=\{0\}.
  • Conclusão: \Phi é um isomorfismo linear entre \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) e U.

Passo 4

Dimensão de U.
  • Por isomorfismo linear, \dim U=\dim\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
  • Sabemos que \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 (base usual \{1,t,t^2,t^3\}).
  • Logo
\dim U=4.

Passo 5

Construindo uma base explícita de U a partir da base canônica de \mathcal{P}_3.
  • Tome a base padrão de \mathcal{P}_3(\mathbb{R}):
\{1,\; t,\; t^2,\; t^3\}.
  • Aplique \Phi em cada vetor da base para obter uma base de U:
\Phi(1)=t(t-1),\qquad \Phi(t)=t^2(t-1),\qquad \Phi(t^2)=t^3(t-1),\qquad \Phi(t^3)=t^4(t-1).
  • Portanto um conjunto gerador de U é
\{\,t(t-1),\; t^2(t-1),\; t^3(t-1),\; t^4(t-1)\,\}.
  • Como \Phi é isomorfismo, as imagens dos vetores de uma base formam uma base; portanto o conjunto acima é linearmente independente e forma de fato uma base de U.
  • Opcionalmente podemos escrever esses vetores de forma expandida:
t(t-1)=t^{2}-t,\quad t^{2}(t-1)=t^{3}-t^{2},\quad t^{3}(t-1)=t^{4}-t^{3},\quad t^{4}(t-1)=t^{5}-t^{4}.

Resposta

Base: \{\,t(t-1),\; t^{2}(t-1),\; t^{3}(t-1),\; t^{4}(t-1)\,\}
Dimensão: \;4

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