Sejam
e
. Obtenha:
a) uma base e a dimensão de
.
a) uma base e a dimensão de
Passo 1
O que o enunciado pede: obter uma base e a dimensão do subespaço
, onde
Informações dadas e observações iniciais:
-
é o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a . - Todo
satisfaz as condições e . - O enunciado pede dois itens: uma base explícita de
e a dimensão de .
Passo 2
Entendendo o que significam as condições
e
(fórmula/fato usado).
- Existe um resultado simples (teorema do resto/fator): se um polinômio
satisfaz então é fator de . Em palavras: raiz implica que divide . - Aplicando isso ao nosso caso:
implica que é fator de . E implica que é fator de . - Portanto qualquer
pode ser escrito como
onde
é um polinômio com coeficientes reais. Como
tem grau
e
tem grau
, segue que
tem grau
. Ou seja
.
Passo 3
Construindo um isomorfismo linear que simplifica a contagem de dimensão.
- Defina a aplicação linear
- Verificação rápida de linearidade: para
e ,
-
é sobrejetora por construção: todo tem a forma com , então existe tal que . -
é injetora: se (polinômio nulo), então é o polinômio identicamente zero; como não é o polinômio nulo e trabalhamos sobre (anel íntegro para polinômios), isso implica é o polinômio nulo. Logo . - Conclusão:
é um isomorfismo linear entre e .
Passo 4
Dimensão de
.
- Por isomorfismo linear,
. - Sabemos que
tem dimensão (base usual ). - Logo
Passo 5
Construindo uma base explícita de
a partir da base canônica de
.
- Tome a base padrão de
:
- Aplique
em cada vetor da base para obter uma base de :
- Portanto um conjunto gerador de
é
- Como
é isomorfismo, as imagens dos vetores de uma base formam uma base; portanto o conjunto acima é linearmente independente e forma de fato uma base de . - Opcionalmente podemos escrever esses vetores de forma expandida:
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: