(UFAM - adaptado) Considere a sequência infinita de triângulos equiláteros T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{n}, \ldots onde os vértices de cada triângulo T_{n} são os pontos médios do triângulo T_{n-1} a partir de T_{2}. Sabendo que o lado de T_{1} mede 2 cm , calcule a soma dos perímetros dos infinitos triângulos.

Passo 1

O enunciado fala de uma sequência infinita de triângulos equiláteros T_{1},T_{2},\dots, em que T_{1} tem lado 2 cm e, para n\ge2, os vértices de T_{n} são os pontos médios de T_{n-1}. O objetivo é somar os perímetros de todos esses triângulos. Para isso vamos usar semelhança de triângulos e soma de série geométrica.

Passo 2

Como os vértices de T_{n} são pontos médios de T_{n-1}, a razão de semelhança entre T_{n} e T_{n-1} é \tfrac12. Logo, se a_n é o lado de T_{n}, temos
a_n = \frac12\,a_{n-1},
com a_1=2. Por indução ou aplicação direta,
a_n = 2\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n-1}.

Passo 3

O perímetro de T_{n} é p_n=3a_n. Substituindo a_n,
p_n = 3\cdot 2\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n-1} = 6\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n-1}.
Isso é uma série geométrica de primeiro termo p_1=6 e razão r=\tfrac12.

Passo 4

A soma dos perímetros é
\sum_{n=1}^{\infty} p_n = \sum_{n=1}^{\infty} 6\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n-1} = \frac{p_1}{1-r} = \frac{6}{1-\tfrac12} =12.

Resposta

A soma dos perímetros dos infinitos triângulos é 12 cm.

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