(UFAM - adaptado) Considere a sequência infinita de triângulos equiláteros
onde os vértices de cada triângulo
são os pontos médios do triângulo
a partir de
. Sabendo que o lado de
mede 2 cm , calcule a soma dos perímetros dos infinitos triângulos.
Passo 1
O enunciado fala de uma sequência infinita de triângulos equiláteros
, em que
tem lado
cm e, para
, os vértices de
são os pontos médios de
. O objetivo é somar os perímetros de todos esses triângulos. Para isso vamos usar semelhança de triângulos e soma de série geométrica.
Passo 2
Como os vértices de
são pontos médios de
, a razão de semelhança entre
e
é
. Logo, se
é o lado de
, temos
com
. Por indução ou aplicação direta,
Passo 3
O perímetro de
é
. Substituindo
,
Isso é uma série geométrica de primeiro termo
e razão
.
Passo 4
A soma dos perímetros é
Resposta
A soma dos perímetros dos infinitos triângulos é
cm.