Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}.Verifique quais das seguintes funções f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}

Passo 1

A questão pede para verificar se a aplicação \displaystyle f\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=x_1y_2+x_2y_1
satisfaz as três condições de um produto interno em \mathbb{R}^2:
  1. simetria, 2) bilinearidade e 3) positividade definida.

Passo 2

Verificamos simetria e bilinearidade em bloco.
  • Simetria:
f((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =x_1y_2+x_2y_1 =x_2y_1+x_1y_2 =f((x_2,y_2),(x_1,y_1)).
Logo é simétrica.
  • Bilinearidade: para quaisquer escalares a,b e vetores v,w,u\in\mathbb{R}^2,
f\bigl(av+bw,u\bigr) =\bigl(a x_v+b x_w\bigr)y_u + x_u\bigl(a y_v+b y_w\bigr) =a\,f(v,u)+b\,f(w,u),
e, pela simetria, análoga no segundo argumento. Portanto é bilinear.

Passo 3

Testamos a positividade definida, isto é, se \;f(v,v)>0 sempre que v\neq(0,0).
Para v=(x,y) temos
f(v,v)=x\,y + x\,y =2\,x\,y.
Mas se tomarmos, por exemplo, v=(1,0) ou v=(1,-1), obtemos
f((1,0),(1,0))=0 \quad\text{e}\quad f((1,-1),(1,-1))=2\cdot1\cdot(-1)=-2<0.
Logo há vetores não nulos com f(v,v)\le0, falhando a positividade definida.

Resposta

A aplicação f não define um produto interno em \mathbb{R}^2.

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