Sejam
.Verifique quais das seguintes funções
definem um produto interno:
Passo 1
A questão pede para verificar se a aplicação
dada por
satisfaz as três condições de um produto interno em
:
- simetria, 2) bilinearidade e 3) positividade definida.
Passo 2
Verificamos simetria e bilinearidade em bloco.
- Simetria:
Logo é simétrica.
- Bilinearidade: para quaisquer escalares
e vetores ,
e, pela simetria, análoga no segundo argumento. Portanto é bilinear.
Passo 3
Testamos a positividade definida, isto é, se
sempre que
.
Para temos
Para
Mas se tomarmos, por exemplo,
ou
, obtemos
Logo há vetores não nulos com
, falhando a positividade definida.
Resposta
A aplicação
não define um produto interno em
.