1. \int_{0}^{2}\left(t \mathbf{i}-t^{3} \mathbf{j}+3 t^{3} \mathbf{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função vetorial
\mathbf{F}(t)=t\,\mathbf{i}-t^{3}\,\mathbf{j}+3t^{3}\,\mathbf{k}
no intervalo de t=0 a t=2. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, que fazemos integrando cada componente separadamente.

Passo 2

Separamos as componentes:
\int_{0}^{2}\mathbf{F}(t)\,dt =\Bigl(\int_{0}^{2}t\,dt\Bigr)\mathbf{i} +\Bigl(\int_{0}^{2}(-t^{3})\,dt\Bigr)\mathbf{j} +\Bigl(\int_{0}^{2}3t^{3}\,dt\Bigr)\mathbf{k}.

Passo 3

Integramos o componente \mathbf{i}:
\int_{0}^{2}t\,dt =\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =\frac{2^{2}}{2}-0=2.

Passo 4

Integramos o componente \mathbf{j}:
\int_{0}^{2}(-t^{3})\,dt =-\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =-\frac{2^{4}}{4}+0=-4.

Passo 5

Integramos o componente \mathbf{k}:
\int_{0}^{2}3t^{3}\,dt =3\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =3\cdot\frac{2^{4}}{4}=12.

Passo 6

Reunindo os resultados, a integral vetorial vale
2\,\mathbf{i}+(-4)\,\mathbf{j}+12\,\mathbf{k}.

Resposta

2\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j}+12\,\mathbf{k}

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