Sejam
M=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right], \quad N=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 1 & 4 \end{array}\right]
Calcule M N e N M (se possível).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
M\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad N\in\mathbb{R}^{3\times2}
e pede para calcular MN e NM. O conteúdo é multiplicação de matrizes: o produto AB só existe se o número de colunas de A coincidir com o número de linhas de B, e nesse caso (AB)_{ij}=\sum_{k}A_{ik}B_{kj}.

Passo 2

Vamos primeiro a MN. Como M é 2\times3 e N é 3\times2, o produto existe e resulta em uma matriz 2\times2. Cada entrada é
(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}M_{ik}\,N_{kj}.
Para i=1,j=1:
(MN)_{11}=1\cdot2+0\cdot0+2\cdot1=2+0+2=4.
Para i=1,j=2:
(MN)_{12}=1\cdot1+0\cdot(-1)+2\cdot4=1+0+8=9.
Para i=2,j=1:
(MN)_{21}=(-1)\cdot2+3\cdot0+1\cdot1=-2+0+1=-1.
Para i=2,j=2:
(MN)_{22}=(-1)\cdot1+3\cdot(-1)+1\cdot4=-1-3+4=0.

Passo 3

Agora NM. Aqui N é 3\times2 e M é 2\times3, então NM existe e é 3\times3. Cada entrada é
(NM)_{ij}=\sum_{k=1}^{2}N_{ik}\,M_{kj}.
Calculando linha a linha, coluna a coluna, obtemos
NM=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\\\ 1 & -3 & -1\\\\ -3 & 12 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

MN = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad NM = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\\\ 1 & -3 & -1\\\\ -3 & 12 & 6 \end{pmatrix}.

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