Encontre a soluçio do sistema cuja matriz aumentada é A=\left[\begin{array}{lllll}1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 & 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}
que corresponde a um sistema linear de 3 equações nas incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4. O conteúdo aqui é resolução por eliminação de Gauss e parametrização de sistemas com infinitas soluções.

Passo 2

Traduzindo a matriz em equações, temos
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_4 = 2,\\\ x_3 + x_4 = 3,\\\ x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 = 5. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da terceira,
(x_1+x_2+x_3+2x_4)-(x_1+x_2+x_4)=5-2
resulta em
x_3 + x_4 = 3,
logo a terceira é dependente da segunda e podemos descartá-la.

Passo 3

O sistema efetivo fica
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_4 = 2,\\\ x_3 + x_4 = 3. \end{cases}
Temos 4 incógnitas e apenas 2 equações independentes, ou seja, posto 2 e 2 variáveis livres.

Passo 4

Escolhemos
x_2 = s,\quad x_4 = t,
com s,t\in\mathbb{R}. Das equações independentes segue
x_1 = 2 - x_2 - x_4 = 2 - s - t,
x_3 = 3 - x_4 = 3 - t.

Passo 5

Logo a solução geral do sistema é
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (2 - s - t,\;s,\;3 - t,\;t),
onde s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

\{(2 - s - t,\;s,\;3 - t,\;t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

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