Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right].
Determine:
(c) A C.

Passo 1

O enunciado nos dá
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C = \begin{pmatrix} -1\\\\ 2\\\\ 4 \end{pmatrix}
e pede o produto AC. O conteúdo é multiplicação de matriz por vetor, em que cada entrada do resultado é a soma dos produtos dos elementos da linha correspondente de A pelos elementos de C.

Passo 2

Como A é 2\times3 e C é 3\times1, o produto AC será um vetor em \mathbb{R}^{2\times1}. A definição nos diz que a entrada i de AC é
(AC)_i \;=\;\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,C_k.

Passo 3

Calculando a primeira entrada i=1:
(AC)_1 = A_{11}C_1 + A_{12}C_2 + A_{13}C_3 = 1\cdot(-1) + 2\cdot2 + 3\cdot4 = -1 + 4 + 12 = 15.

Passo 4

Calculando a segunda entrada i=2:
(AC)_2 = A_{21}C_1 + A_{22}C_2 + A_{23}C_3 = 2\cdot(-1) + 1\cdot2 + (-1)\cdot4 = -2 + 2 - 4 = -4.

Passo 5

Reunindo as duas entradas, o produto AC é o vetor em \mathbb{R}^{2\times1}:
AC = \begin{pmatrix} 15\\\\ -4 \end{pmatrix}.

Resposta

AC = \begin{pmatrix} 15\\\\ -4 \end{pmatrix}.

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