Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ll} 2 & -1 \end{array}\right]
Determine
D B.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (escrevi exatamente os valores fornecidos):
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}.
O que o problema pede: determinar a multiplicação D B.]

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se a multiplicação está bem definida e qual será a dimensão do resultado.
  • A matriz D tem 1 linha e 2 colunas, ou seja, é de dimensão 1\times 2.
  • A matriz B tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja, é de dimensão 2\times 3.
Regra de compatibilidade: para multiplicar uma matriz X de dimensão m\times n por uma matriz Y de dimensão p\times q, é necessário que n=p. Aqui n=2 (colunas de D) e p=2 (linhas de B), então a multiplicação D B é possível. O resultado terá dimensão 1\times 3 (linhas de D por colunas de B).

Passo 3

Agora a fórmula de multiplicação de matrizes (explicada devagarinho):
Se E = D B e E tem dimensão 1\times 3, então cada elemento de E é dado por
E_{1j}=\sum_{k=1}^{2} D_{1k}\,B_{kj},\qquad j=1,2,3.
Explicando as notações:
  • E_{1j} é o elemento da única linha 1 e da coluna j da matriz resultado.
  • D_{1k} é o elemento da linha 1 e coluna k de D.
  • B_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B.
  • A soma vai de k=1 até k=2 porque D tem 2 colunas (e B tem 2 linhas).
Vou usar os valores concretos: D_{11}=2, D_{12}=-1. Para B temos
B_{11}=-2,\; B_{12}=0,\; B_{13}=1,\qquad B_{21}=3,\; B_{22}=0,\; B_{23}=1.

Passo 4

Calcular o primeiro elemento do resultado ( j=1):
E_{11}=D_{11}B_{11}+D_{12}B_{21}=2\cdot(-2)+(-1)\cdot 3.
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot(-2)=-4,\qquad (-1)\cdot 3=-3,
E_{11}=-4+(-3)=-7.

Passo 5

Calcular o segundo elemento ( j=2):
E_{12}=D_{11}B_{12}+D_{12}B_{22}=2\cdot 0+(-1)\cdot 0.
Fazendo as contas:
2\cdot 0=0,\qquad (-1)\cdot 0=0,
E_{12}=0+0=0.

Passo 6

Calcular o terceiro elemento ( j=3):
E_{13}=D_{11}B_{13}+D_{12}B_{23}=2\cdot 1+(-1)\cdot 1.
Fazendo as contas:
2\cdot 1=2,\qquad (-1)\cdot 1=-1,
E_{13}=2+(-1)=1.

Passo 7

Juntando os três elementos obtidos, a matriz produto E=D B é a linha
E=\begin{bmatrix}E_{11} & E_{12} & E_{13}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-7 & 0 & 1\end{bmatrix}.

Resposta

\begin{bmatrix}-7 & 0 & 1\end{bmatrix}

Exercícios relacionados