Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ll} 2 & -1 \end{array}\right]
Determine
A C.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{pmatrix},
e pede para determinar A C. Vou trabalhar passo a passo e explicar cada ideia com calma — você consegue!]

Passo 2

Verificar dimensões e compatibilidade de multiplicação.
A\\ \text{é }2\times3,\qquad C\\ \text{é }3\times1.éé
A multiplicação A C está definida porque o número de colunas de A (que é 3) coincide com o número de linhas de C (que é 3). O produto terá dimensão 2\times1 (duas linhas, uma coluna).
Regra prática (definição): o elemento na linha i e coluna 1 do produto AC é
(AC)_i=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,c_k,
onde a_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de A, e c_k é o k-ésimo elemento de C.

Passo 3

Anotar explicitamente os elementos que vamos usar:
  • da matriz A, as linhas são
\text{linha 1 de }A: \\ (a_{11},a_{12},a_{13})=(1,2,3),
\text{linha 2 de }A: \\ (a_{21},a_{22},a_{23})=(2,1,-1).
  • do vetor C,
(c_1,c_2,c_3)=(-1,2,4).

Passo 4

Calcular o primeiro elemento de AC (linha 1, única coluna) usando a fórmula:
(AC)_1 = a_{11}c_1 + a_{12}c_2 + a_{13}c_3.
Substituindo os números:
(AC)_1 = 1\cdot(-1) + 2\cdot 2 + 3\cdot 4 = -1 + 4 + 12 = 15.

Passo 5

Calcular o segundo elemento de AC (linha 2, única coluna):
(AC)_2 = a_{21}c_1 + a_{22}c_2 + a_{23}c_3.
Substituindo:
(AC)_2 = 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 4 = -2 + 2 - 4 = -4.

Passo 6

Interpretação alternativa (intuitiva): multiplicar A por C é a mesma coisa que formar a combinação linear das colunas de A com os coeficientes dados por C:
AC = (-1)\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Fazendo essa soma obtém-se exatamente os componentes calculados nos passos anteriores.]

Resposta

AC=\begin{pmatrix}15\\[4pt]-4\end{pmatrix}]

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