Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 4 & -1 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1\end{array}\right]
Compute cada uma das seguintes matrizes se ela for definida:
A+B, B+C, B-A, 3 B, A B, C A, C E, E C, B^{T},(C A)^{T}, A^{T} C^{T}.

Passo 1

O enunciado define as matrizes
A\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad C\in\mathbb{R}^{2\times2},\quad D\in\mathbb{R}^{2\times2},\quad E\in\mathbb{R}^{2\times1}.
Pede-se soma, subtração, multiplicação por escalar, produto entre matrizes (quando definido) e transposta. Para isso usamos as regras:
– Duas matrizes somam/subtraem-se só se têm mesma dimensão.
– O produto X\,Y só existe se o número de colunas de X iguala o de linhas de Y.
– A transposta troca linhas por colunas.

Passo 2

Vamos primeiro ver as somas e subtrações:
  1. A+B: ambas são 2\times3, logo definidas.
A+B = \begin{pmatrix}2&3&1\\\ 0&-1&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1&-1\\\ 4&-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+0 & 3+1 & 1+(-1)\\[6pt]0+4 & -1+(-1) & 2+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4 & 0\\\ 4 & -2 & 4\end{pmatrix}.
  1. B-A: também 2\times3.
B-A = \begin{pmatrix}0&1&-1\\\ 4&-1&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&3&1\\\ 0&-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0-2 & 1-3 & -1-1\\[6pt]4-0 & -1-(-1) & 2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -2 & -2\\\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  1. B+C: B é 2\times3, C é 2\times2, dimensões diferentes, logo não definida.]

Passo 3

Multiplicação por escalar:
3B = 3 \cdot \begin{pmatrix}0&1&-1\\\ 4&-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&3&-3\\\ 12&-3&6\end{pmatrix}.

Passo 4

Produtos de matrizes:
  1. A\,B: A é 2\times3, B é 2\times3; colunas de A ( 3) ≠ linhas de B ( 2), logo não definida.
  2. C\,A: C é 2\times2, A é 2\times3; 2=2, produto existe e resulta em 2\times3:
C\,A = \begin{pmatrix}1&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3&1\\\ 0&-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot0 & 1\cdot3+2\cdot(-1) & 1\cdot1+2\cdot2\\[4pt] 3\cdot2+(-1)\cdot0 & 3\cdot3+(-1)\cdot(-1) & 3\cdot1+(-1)\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 5\\\ 6 & 10 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Produtos envolvendo o vetor E:
  1. C\,E: C é 2\times2, E é 2\times1, resultado 2\times1.
C\,E = \begin{pmatrix}1&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1 + 2\cdot(-1)\\\ 3\cdot1 + (-1)\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}.
  1. E\,C: E é 2\times1, C é 2\times2; 1\neq2, logo não definida.

Passo 6

Transpostas:
1.
B^{T} = \begin{pmatrix}0&1&-1\\\ 4&-1&2\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}0&4\\\ 1&-1\\\ -1&2\end{pmatrix}.
  1. Primeiro calculamos (C\,A)^{T} a partir do resultado do passo 4:
(C\,A)^{T} = \begin{pmatrix}2&1&5\\\ 6&10&1\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}2&6\\\ 1&10\\\ 5&1\end{pmatrix}.
  1. Agora \;A^{T}C^{T}:
A^{T}=\begin{pmatrix}2&0\\\ 3&-1\\\ 1&2\end{pmatrix},\quad C^{T}=\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&-1\end{pmatrix},
A^{T}C^{T} = \begin{pmatrix}2&0\\\ 3&-1\\\ 1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&3\\\ 2&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+0\cdot2 & 2\cdot3+0\cdot(-1)\\[4pt] 3\cdot1+(-1)\cdot2 & 3\cdot3+(-1)\cdot(-1)\\[4pt] 1\cdot1+2\cdot2 & 1\cdot3+2\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&6\\\ 1&10\\\ 5&1\end{pmatrix},
que coincide com (C\,A)^{T} pela propriedade (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.]

Resposta

A+B=\begin{pmatrix}2&4&0\\\ 4&-2&4\end{pmatrix}
B+C não definida
B-A=\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\\ 4&0&0\end{pmatrix}
3B=\begin{pmatrix}0&3&-3\\\ 12&-3&6\end{pmatrix}
A\,B não definida
C\,A=\begin{pmatrix}2&1&5\\\ 6&10&1\end{pmatrix}
C\,E=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}
E\,C não definida
B^{T}=\begin{pmatrix}0&4\\\ 1&-1\\\ -1&2\end{pmatrix}
(C\,A)^{T}=\begin{pmatrix}2&6\\\ 1&10\\\ 5&1\end{pmatrix}
A^{T}C^{T}=\begin{pmatrix}2&6\\\ 1&10\\\ 5&1\end{pmatrix}

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