Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 4 & -1 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1\end{array}\right]
Verifique que (D A)^{T}=A^{T} D^{T}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade de transposição de produto de matrizes, isto é, mostrar que
(D A)^{T} \;=\; A^{T}\,D^{T}.
Aqui vamos usar definição de multiplicação de matrizes e a operação de transposta.

Passo 2

Calcular o produto D A. Como
D = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix},
cada entrada de D A é soma de produtos de linha de D por coluna de A. Obtemos
D A = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 1\cdot0 & 2\cdot3 + 1\cdot(-1) & 2\cdot1 + 1\cdot2\\[6pt] 1\cdot2 + 1\cdot0 & 1\cdot3 + 1\cdot(-1) & 1\cdot1 + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 5 & 4\\\ 2 & 2 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Transpor o resultado de D A. Como
D A = \begin{pmatrix}4 & 5 & 4\\\ 2 & 2 & 3\end{pmatrix},
sua transposta é
(D A)^{T} = \begin{pmatrix} 4 & 2\\\\ 5 & 2\\\\ 4 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular A^{T}D^{T}. Primeiro,
A^{T} = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 3 & -1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad D^{T} = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
(sendo D simétrica, D^{T}=D). Então o produto é
A^{T}D^{T} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 0\cdot1 & 2\cdot1 + 0\cdot1\\[4pt] 3\cdot2 + (-1)\cdot1 & 3\cdot1 + (-1)\cdot1\\[4pt] 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot1 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 5 & 2\\\ 4 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparando
(D A)^{T} = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 5 & 2\\\ 4 & 3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A^{T}D^{T} = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 5 & 2\\\ 4 & 3\end{pmatrix},
vemos que as duas são idênticas.

Resposta

De fato (D A)^{T}=A^{T}D^{T}.

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