Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 4 & -1 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1\end{array}\right]
Verifique que C D \neq D C.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas de ordem 2,
C = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[0.3em] 3 & -1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad D = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em] 1 & 1\end{pmatrix},
e pede para verificarmos que elas não comutam, ou seja, que \,CD \neq DC.
Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes: o elemento (i,j) do produto é dado pela soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira com os da coluna j da segunda.]

Passo 2

Calcular CD. Usamos cada linha de C com cada coluna de D:
CD = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[0.3em] 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em] 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot1 + 2\cdot1 \\[0.3em] 3\cdot2 + (-1)\cdot1 & 3\cdot1 + (-1)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 3 \\[0.3em] 5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular DC. Agora cada linha de D com cada coluna de C:
DC = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[0.3em] 3 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot3 & 2\cdot2 + 1\cdot(-1) \\[0.3em] 1\cdot1 + 1\cdot3 & 1\cdot2 + 1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 3 \\[0.3em] 4 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando
CD = \begin{pmatrix}4 & 3 \\[0.3em] 5 & 2\end{pmatrix} \quad\neq\quad DC = \begin{pmatrix}5 & 3 \\[0.3em] 4 & 1\end{pmatrix},
vemos que os produtos são diferentes em vários entr​es (por exemplo, o elemento (1,1) é 4 em CD e 5 em DC). Logo, C e D não comutam.]

Resposta

\,CD \neq DC.

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