1. (Simon & Blume - Exercício 8.5) Às vezes acontece de A B=B A. Cheque isso para A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ -4 & 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}
comutam, isto é, se AB=BA. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes 2\times2.]

Passo 2

Calcular AB. Pelas regras de multiplicação,
AB =\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -4\\\ -4 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot3 + 1\cdot(-4) & 2\cdot(-4) + 1\cdot3\\[6pt] 1\cdot3 + 2\cdot(-4) & 1\cdot(-4) + 2\cdot3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -5\\\ -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular BA. Similarmente,
BA =\begin{pmatrix}3 & -4\\\ -4 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\cdot2 + (-4)\cdot1 & 3\cdot1 + (-4)\cdot2\\[6pt] (-4)\cdot2 + 3\cdot1 & (-4)\cdot1 + 3\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -5\\\ -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando, vemos que \,AB=\begin{pmatrix}2 & -5\\\ -5 & 2\end{pmatrix} = BA.

Resposta

As matrizes A e B comutam, ou seja, AB=BA.

Exercícios relacionados