Encontre os valores de k que fazem as matrizes não inversíveis: \left[\begin{array}{cc}5-k & 3 \\\\ 3 & -3-k\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 6 \\\ k & 3 & 2\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de k que tornam não inversíveis (ou seja, singulares) as duas matrizes abaixo:
Informações relevantes dadas: os elementos de A e de B dependem do parâmetro k. A tarefa é achar todos os valores de k tais que cada matriz não tem inversa.]
Passo 2
Conceito-chave usado (explicação didática): uma matriz quadrada é não inversível se, e somente se, o seu determinante for zero. Vou usar essa propriedade para cada matriz.
Para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} a fórmula do determinante é
\det = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os coeficientes da matriz; a fórmula significa multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto da outra diagonal.
Para uma matriz 3\times3 vou usar a expansão por cofatores (expansão pela primeira linha), que diz: se
\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix}
então
\det = a\det\begin{pmatrix}e & f\\\ h & i\end{pmatrix} - b\det\begin{pmatrix}d & f\\\ g & i\end{pmatrix} + c\det\begin{pmatrix}d & e\\\ g & h\end{pmatrix}.
Cada determinante 2\times2 é calculado com a fórmula do passo anterior. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando ao primeiro caso: escrever a matriz A e calcular o determinante usando a fórmula do 2\times2:
Agora encontrar k tal que \det(A)=0. Temos a equação quadrática
k^2 -2k -24 = 0.
Vou fatorar: procuro dois números cujo produto seja -24 e cuja soma seja -2. Esses números são 6 e -4 porque 6\cdot(-4)=-24 e 6+(-4)=2 — observe que precisamos de soma -2, então os fatores serão (k-6)(k+4) porque:
(k-6)(k+4) = k^2 +4k -6k -24 = k^2 -2k -24.
Portanto
k^2 -2k -24 = (k-6)(k+4).
Assim \det(A)=0 quando k-6=0 ou k+4=0, isto é,
k = 6 \quad\text{ou}\quad k = -4.
Passo 5
Passo agora para a matriz B. Reescrevo B e uso a expansão pela primeira linha: