Encontre os valores de k que fazem as matrizes não inversíveis: \left[\begin{array}{cc}5-k & 3 \\\\ 3 & -3-k\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 6 \\\ k & 3 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de k que tornam não inversíveis (ou seja, singulares) as duas matrizes abaixo:
A=\begin{pmatrix}5-k & 3 \\[4pt] 3 & -3-k\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] 3 & 1 & 6 \\[4pt] k & 3 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os elementos de A e de B dependem do parâmetro k. A tarefa é achar todos os valores de k tais que cada matriz não tem inversa.]

Passo 2

Conceito-chave usado (explicação didática): uma matriz quadrada é não inversível se, e somente se, o seu determinante for zero. Vou usar essa propriedade para cada matriz.
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} a fórmula do determinante é
\det = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os coeficientes da matriz; a fórmula significa multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto da outra diagonal.
  • Para uma matriz 3\times3 vou usar a expansão por cofatores (expansão pela primeira linha), que diz: se
\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix}
então
\det = a\det\begin{pmatrix}e & f\\\ h & i\end{pmatrix} - b\det\begin{pmatrix}d & f\\\ g & i\end{pmatrix} + c\det\begin{pmatrix}d & e\\\ g & h\end{pmatrix}.
Cada determinante 2\times2 é calculado com a fórmula do passo anterior. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando ao primeiro caso: escrever a matriz A e calcular o determinante usando a fórmula do 2\times2:
A=\begin{pmatrix}5-k & 3 \\[4pt] 3 & -3-k\end{pmatrix}
\det(A) = (5-k)\cdot(-3-k) - 3\cdot 3.
Agora vou desenvolver a multiplicação (5-k)(-3-k) com calma:
(5-k)(-3-k) = 5\cdot(-3) + 5\cdot(-k) + (-k)\cdot(-3) + (-k)\cdot(-k).
Cada termo: 5\cdot(-3) = -15, 5\cdot(-k) = -5k, (-k)\cdot(-3) = 3k, (-k)\cdot(-k) = k^2. Somando:
(5-k)(-3-k) = k^2 -5k +3k -15 = k^2 -2k -15.
Então
\det(A) = k^2 -2k -15 - 9 = k^2 -2k -24.]

Passo 4

Agora encontrar k tal que \det(A)=0. Temos a equação quadrática
k^2 -2k -24 = 0.
Vou fatorar: procuro dois números cujo produto seja -24 e cuja soma seja -2. Esses números são 6 e -4 porque 6\cdot(-4)=-24 e 6+(-4)=2 — observe que precisamos de soma -2, então os fatores serão (k-6)(k+4) porque:
(k-6)(k+4) = k^2 +4k -6k -24 = k^2 -2k -24.
Portanto
k^2 -2k -24 = (k-6)(k+4).
Assim \det(A)=0 quando k-6=0 ou k+4=0, isto é,
k = 6 \quad\text{ou}\quad k = -4.

Passo 5

Passo agora para a matriz B. Reescrevo B e uso a expansão pela primeira linha:
B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] 3 & 1 & 6 \\[4pt] k & 3 & 2\end{pmatrix}.
Pela fórmula da expansão:
\det(B) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} - 2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt] k & 2\end{pmatrix} + 4\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] k & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculo cada determinante 2\times2 com calma.
Primeiro:
\det\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} = 1\cdot 2 - 6\cdot 3 = 2 - 18 = -16.
Segundo:
\det\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt] k & 2\end{pmatrix} = 3\cdot 2 - 6\cdot k = 6 - 6k.
Terceiro:
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] k & 3\end{pmatrix} = 3\cdot 3 - 1\cdot k = 9 - k.
Agora substituo esses valores na expressão de \det(B):
\det(B) = 1\cdot(-16) - 2\cdot(6 - 6k) + 4\cdot(9 - k).
Faço as multiplicações e somas passo a passo:
1\cdot(-16) = -16,
-2\cdot(6 - 6k) = -12 + 12k,
4\cdot(9 - k) = 36 - 4k.
Somando tudo:
\det(B) = -16 + (-12 + 12k) + (36 - 4k).
Agrupando os termos constantes e os termos em k:
\det(B) = (-16 -12 +36) + (12k -4k) = 8 + 8k.
Fatorando:
\det(B) = 8(k+1).]

Passo 7

Para que B seja não inversível precisamos de \det(B)=0. Assim
8(k+1)=0 \;\Longrightarrow\; k+1=0 \;\Longrightarrow\; k=-1.

Resposta

k=6 e k=-4 para a primeira matriz A.
k=-1 para a segunda matriz B.

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