Use o resultado do exercício anterior para resolver o sitema linear \left\{\begin{aligned} 5 x & +3 y=k x, \\\\ 3 x & -3 y=k y,\end{aligned}\right. onde k é uma constante.
Para quais valores de k o sistema tem solução não trivial para (x, y) ?
Encontre as soluções não triviais. Dica: reescreva o sistema como A X=0.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{cases} 5x+3y=kx,\\[4pt] 3x-3y=ky, \end{cases}
onde k é uma constante. As perguntas são: para quais valores de k o sistema tem solução não trivial (isto é, (x,y)\neq(0,0)) e quais são essas soluções não triviais. Foi sugerido reescrever o sistema como A X=0, então vamos listar as informações fornecidas: as duas equações lineares acima e a indicação de tratar o sistema como homogêneo A X=0.]

Passo 2

Reescrevemos cada equação trazendo todos os termos para a esquerda, para colocar o sistema na forma A X=0\). Subtraindo \(kx\) da primeira equação e \(ky\) da segunda, obtemos \[\begin{cases} (5-k)x+3y=0,\\[4pt] 3x+(-3-k)y=0. \end{cases}
Assim a matriz A\] e o vetor \(X são
A=\begin{pmatrix}5-k & 3\\[4pt] 3 & -3-k\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix},
e o sistema é A X=0.]

Passo 3

Explico um conceito-chave que vamos usar: para um sistema homogêneo A X=0 com matriz quadrada A, existe solução não trivial se, e somente se, \det(A)=0. Intuição curta e simples: se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é X=0; se \det(A)=0 então as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes e há infinitas soluções não triviais. Vou aplicar esse critério ao nosso A.

Passo 4

Calculamos o determinante de A. Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui a=5-k, b=3, c=3, d=-3-k. Então
\det(A)=(5-k)(-3-k)-3\cdot 3.]

Passo 5

Desenvolvemos a expressão do determinante passo a passo. Primeiro expandindo o produto:
(5-k)(-3-k)=k^2-2k-15.
(Se quiser conferir: (5-k)(-3-k)=5(-3-k)-k(-3-k)=-15-5k+3k+k^2=k^2-2k-15.) Agora subtraímos 3\cdot 3=9:
\det(A)=k^2-2k-15-9=k^2-2k-24.

Passo 6

Impondo a condição para existir solução não trivial, colocamos \det(A)=0:
k^2-2k-24=0.
Esta é uma equação quadrática simples. Vou resolvê-la.

Passo 7

Resolvendo a quadrática \,k^2-2k-24=0. Calculamos o discriminante \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-24)=4+96=100. Assim as raízes são
k=\frac{2\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{2\pm10}{2}.
Portanto as soluções são
k=\frac{2+10}{2}=6\quad\text{e}\quad k=\frac{2-10}{2}=-4.
Concluímos que somente para \,k=6 ou \,k=-4 o sistema tem solução não trivial.

Passo 8

Agora vamos encontrar as soluções não triviais (o espaço nulo de A) para cada valor de k. Primeiro para k=6. Substituindo em A temos
A=\begin{pmatrix}5-6 & 3\\[4pt] 3 & -3-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 3 & -9\end{pmatrix}.
O sistema A X=0 vira
\begin{cases} -1\cdot x+3\cdot y=0,\\[4pt] 3\cdot x-9\cdot y=0. \end{cases}]

Passo 9

Resolvemos uma das equações (elas são equivalentes). Da primeira equação:
- x+3y=0 \quad\Rightarrow\quad x=3y.
Tomando y=t como parâmetro livre (qualquer número real), obtemos x=3t. Logo o conjunto de soluções é
(x,y)=t(3,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Para soluções não triviais escolhemos t\neq0. Uma base do espaço nulo é o vetor (3,1).

Passo 10

Agora para k=-4. Substituindo em A obtemos
A=\begin{pmatrix}5-(-4) & 3\\[4pt] 3 & -3-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 3\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
O sistema A X=0 é
\begin{cases} 9x+3y=0,\\[4pt] 3x+1y=0. \end{cases}]

Passo 11

Da segunda equação temos
3x+y=0 \quad\Rightarrow\quad y=-3x.
Tomando x=t como parâmetro livre, obtemos y=-3t. Assim o conjunto de soluções é
(x,y)=t(1,-3),\quad t\in\mathbb{R},
com t\neq0 para soluções não triviais. Uma base do espaço nulo é o vetor (1,-3).

Resposta

k=6:\\ (x,y)=t(3,1),\\ t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}
k=-4:\\ (x,y)=t(1,-3),\\ t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

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