Use o resultado do exercício anterior para resolver o sitema linear \left\{\begin{aligned} 5 x & +3 y=k x, \\\\ 3 x & -3 y=k y,\end{aligned}\right. onde k é uma constante.
Para quais valores de k o sistema tem solução não trivial para (x, y) ?
Encontre as soluções não triviais. Dica: reescreva o sistema como A X=0.
onde k é uma constante. As perguntas são: para quais valores de k o sistema tem solução não trivial (isto é, (x,y)\neq(0,0)) e quais são essas soluções não triviais. Foi sugerido reescrever o sistema como A X=0, então vamos listar as informações fornecidas: as duas equações lineares acima e a indicação de tratar o sistema como homogêneo A X=0.]
Passo 2
Reescrevemos cada equação trazendo todos os termos para a esquerda, para colocar o sistema na forma A X=0\). Subtraindo \(kx\) da primeira equação e \(ky\) da segunda, obtemos
\[\begin{cases} (5-k)x+3y=0,\\[4pt] 3x+(-3-k)y=0. \end{cases}
Explico um conceito-chave que vamos usar: para um sistema homogêneo A X=0 com matriz quadrada A, existe solução não trivial se, e somente se, \det(A)=0. Intuição curta e simples: se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é X=0; se \det(A)=0 então as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes e há infinitas soluções não triviais. Vou aplicar esse critério ao nosso A.
Passo 4
Calculamos o determinante de A. Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui a=5-k, b=3, c=3, d=-3-k. Então
\det(A)=(5-k)(-3-k)-3\cdot 3.]
Passo 5
Desenvolvemos a expressão do determinante passo a passo. Primeiro expandindo o produto: