1. (2 pontos) Considere o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{aligned} x+2 y+z & =1 \\\ y+2 z & =-4 \\\ x+y+z & =2 \end{aligned}\right.
Verifique se o sistema linear possui solução única (Mostre que det A) =l remaisa dos cofatores) e resolva o sistema linear calculando a inversa.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{aligned} x+2y+z&=1\\\ y+2z&=-4\\\ x+y+z&=2 \end{aligned}\right.
O que se pede:
  • Verificar se o sistema possui solução única (mostrar o determinante da matriz dos coeficientes via desenvolvimento por cofatores).
  • Resolver o sistema calculando a inversa da matriz dos coeficientes e aplicando-a ao vetor de termos independentes.
Informações relevantes que temos: os coeficientes das incógnitas nas três equações (já escritos acima) e os termos independentes 1,\,-4,\,2.

Passo 2

Escrever a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna dos termos independentes b:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrete rápido (didático) sobre determinante por desenvolvimento por cofatores:
  • O menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • O desenvolvimento pelo 1^{\text{a}} linha dá
\det A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde a_{1j} são os elementos da primeira linha.

Passo 4

Calcular os menores e cofatores usados no desenvolvimento pela primeira linha:
  • Menor M_{11}: det da submatriz ao eliminar linha 1 coluna 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1.
Cofator C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot(-1)=-1.
  • Menor M_{12}: det da submatriz ao eliminar linha 1 coluna 2:
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot1=-2.
Cofator C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-2)=2.
  • Menor M_{13}: det da submatriz ao eliminar linha 1 coluna 3:
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
Cofator C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=1\cdot(-1)=-1.
Agora o determinante:
\det A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} =1\cdot(-1)+2\cdot2+1\cdot(-1)=-1+4-1=2.]

Passo 5

Interpretação: como \det A=2\neq 0, a matriz A é invertível. Para um sistema linear A x=b, se A é invertível então existe exatamente uma solução dada por x=A^{-1}b. Portanto o sistema tem solução única.

Passo 6

Agora vamos calcular A^{-1} usando a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores). Precisamos dos cofatores C_{ij} para todos os pares (i,j). Já temos C_{11},C_{12},C_{13}. Calculamos os restantes:
  • Para i=2:
    • M_{21}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot1=1. Cofator C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
    • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0. Cofator C_{22}=(-1)^{2+2}0=0.
    • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1. Cofator C_{23}=(-1)^{2+3}(-1)=-1\cdot(-1)=1.
  • Para i=3:
    • M_{31}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=3. Cofator C_{31}=(-1)^{3+1}3=1\cdot3=3.
    • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2. Cofator C_{32}=(-1)^{3+2}2=-1\cdot2=-2.
    • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot0=1. Cofator C_{33}=(-1)^{3+3}1=1\cdot1=1.
Assim a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23}\\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Logo
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A) =\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 1 & 0 & -1\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular a solução x=A^{-1}b. Multiplicamos A^{-1} por b:
Primeira componente x:
x = -\tfrac{1}{2}\cdot1 + \big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot(-4) + \tfrac{3}{2}\cdot2 = -\tfrac{1}{2} + 2 + 3 = \tfrac{9}{2}.
Segunda componente y:
y = 1\cdot1 + 0\cdot(-4) + (-1)\cdot2 = 1 + 0 -2 = -1.
Terceira componente z:
z = -\tfrac{1}{2}\cdot1 + \tfrac{1}{2}\cdot(-4) + \tfrac{1}{2}\cdot2 = -\tfrac{1}{2} -2 +1 = -\tfrac{3}{2}.
Portanto a solução é \big(\tfrac{9}{2},\,-1,\,-\tfrac{3}{2}\big).

Resposta

\det A = 2 (logo existe solução única).
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 1 & 0 & -1\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}
(x,y,z)=\left(\tfrac{9}{2},\,-1,\,-\tfrac{3}{2}\right)]

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