Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
A B

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}-2 & 5 & 1\\[4pt]-3 & -6 & 5\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}-2 & -5\\[4pt]0 & 3\\[4pt]9 & -4\end{pmatrix},
e pede para calcular o produto A B.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A tem dimensões 2\times 3 (2 linhas e 3 colunas).
  • A matriz B tem dimensões 3\times 2 (3 linhas e 2 colunas).
  • O pedido é computar A B ou justificar por que o produto não está definido.]

Passo 2

Regra e fórmula de multiplicação de matrizes (explicação didática).
Se A é uma matriz m\times n e B é uma matriz n\times p, então o produto A B está definido e será uma matriz m\times p. Cada entrada do produto é obtida como produto escalar (dot product) da linha i de A com a coluna j de B. Formalmente:
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui:
  • (AB)_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de AB.
  • A_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de A.
  • B_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de B.
    Em palavras: para calcular (AB)_{ij} multiplica-se termo a termo a i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B e soma-se tudo.

Passo 3

Verificação de compatibilidade para o caso concreto.
Como A é 2\times 3 e B é 3\times 2, o número de colunas de A (que é 3) coincide com o número de linhas de B (também 3). Portanto o produto A B está definido e terá dimensão 2\times 2 (duas linhas e duas colunas).

Passo 4

Cálculo do elemento (AB)_{11} (linha 1, coluna 1). Aplicando a fórmula:
(AB)_{11}=(-2)\cdot(-2)+5\cdot 0 + 1\cdot 9 = 4 + 0 + 9 = 13.

Passo 5

Cálculo do elemento (AB)_{12} (linha 1, coluna 2):
(AB)_{12}=(-2)\cdot(-5)+5\cdot 3 + 1\cdot(-4) = 10 + 15 - 4 = 21.

Passo 6

Cálculo do elemento (AB)_{21} (linha 2, coluna 1):
(AB)_{21}=(-3)\cdot(-2)+(-6)\cdot 0 + 5\cdot 9 = 6 + 0 + 45 = 51.

Passo 7

Cálculo do elemento (AB)_{22} (linha 2, coluna 2):
(AB)_{22}=(-3)\cdot(-5)+(-6)\cdot 3 + 5\cdot(-4) = 15 - 18 - 20 = -23.

Passo 8

Resumo dos elementos calculados (posições e valores):
(AB)_{11}=13, (AB)_{12}=21, (AB)_{21}=51, (AB)_{22}=-23.
Como a matriz resultante é 2\times 2, esses quatro elementos preenchem todas as entradas do produto. Boa! Já fizemos todas as contas passo a passo — respira, tá certinho.

Resposta

AB=\begin{pmatrix}13 & 21\\[4pt]51 & -23\end{pmatrix}]

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