Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
A^{2}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (estou reproduzindo A porque só nos pediram A^{2}):
A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\[4pt] -3 & -6 & 5\end{array}\right]
A pergunta específica é: calcular o produto indicado ou explicar por que ele não está definido — aqui o produto indicado é A^{2} (isto é, A\cdot A).]

Passo 2

Regra para multiplicação de matrizes (explicação passo a passo e didática):
  • Seja X uma matriz de tamanho m\times n e Y uma matriz de tamanho p\times q.
  • O produto XY está definido se, e somente se, o número de colunas de X (que é n) for igual ao número de linhas de Y (que é p). Em símbolos: é necessário ter n=p.
  • Se XY estiver definido, o resultado é uma matriz de tamanho m\times q.
  • Fórmula para entradas (para fixar a ideia): se XY estiver definido então
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde i percorre 1,\dots,m e j percorre 1,\dots,q. Aqui k é o índice que “faz o produto escalar” entre a i-ésima linha de X e a j-ésima coluna de Y.
Exemplo simples (para imaginar): uma matriz 2\times3 pode ser multiplicada por uma 3\times4 e o resultado será 2\times4. Mas uma 2\times3 não pode ser multiplicada por outra 2\times3 porque 3 (colunas da primeira) ≠ 2 (linhas da segunda).

Passo 3

Determine as dimensões de A a partir da sua escrita:
  • A primeira linha de A tem três entradas e há duas linhas no total.
  • Portanto A é uma matriz de dimensão 2\times3. Em notação,
A\in\mathbb{R}^{2\times3}.

Passo 4

Aplicando a regra da multiplicação ao caso A^{2}=A\cdot A:
  • Para multiplicar A (primeiro fator) por A (segundo fator) precisamos que o número de colunas do primeiro seja igual ao número de linhas do segundo.
  • O primeiro A tem 3 colunas; o segundo A tem 2 linhas.
  • Como 3\neq 2, a condição de compatibilidade não é satisfeita. Pelo critério explicado no Passo 2, o produto A\cdot A não está definido.

Passo 5

Observação útil para a prova (dica prática): quando a matriz não é quadrada não se espera que A^{2} exista. Em vez disso, produtos frequentemente úteis e bem definidos são A^{T}A (aqui seria 3\times3) e AA^{T} (aqui seria 2\times2); esses sim são definidos para qualquer A e valem a pena conhecer.

Resposta

O produto A^{2} não está definido.

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