Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
B C

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
B=\begin{bmatrix}-2 & -5 \\[4pt] 0 & 3 \\[4pt] 9 & -4\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] -2 & 5\end{bmatrix}
e pede para calcular o produto B C. Vou também anotar as dimensões de cada matriz: B é 3\times 2 (3 linhas e 2 colunas) e C é 2\times 2 (2 linhas e 2 colunas).]

Passo 2

Primeiro, a regra para definir o produto de matrizes: o produto de uma matriz X de dimensão m\times n por uma matriz Y de dimensão p\times q é definido somente se n=p. Nesse caso o produto XY tem dimensão m\times q. A entrada genérica do produto é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde i indica a linha do produto, j indica a coluna do produto, e k percorre a soma sobre a dimensão interna n (número de colunas de X / número de linhas de Y). Aqui: X=B, Y=C, e n=2.

Passo 3

Aplicando a regra às nossas matrizes: como o número de colunas de B é 2 e o número de linhas de C é 2, temos 2=2, então o produto B C está definido. O produto resultante terá dimensão 3\times 2 (linhas de B por colunas de C).

Passo 4

Vou calcular entrada a entrada usando a fórmula (BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} B_{ik}C_{kj}.
Cálculo da primeira linha do produto (linha 1 de B é (-2,\,-5)):
(BC)_{11}=(-2)\cdot 1 + (-5)\cdot(-2) = -2 + 10 = 8,
(BC)_{12}=(-2)\cdot 3 + (-5)\cdot 5 = -6 -25 = -31.
Cálculo da segunda linha do produto (linha 2 de B é (0,\,3)):
(BC)_{21}=0\cdot 1 + 3\cdot(-2)=0 -6 = -6,
(BC)_{22}=0\cdot 3 + 3\cdot 5=0 +15 = 15.
Cálculo da terceira linha do produto (linha 3 de B é (9,\,-4)):
(BC)_{31}=9\cdot 1 + (-4)\cdot(-2)=9 + 8 = 17,
(BC)_{32}=9\cdot 3 + (-4)\cdot 5=27 -20 = 7.

Passo 5

Agrupando todas as entradas calculadas, o produto B C é a matriz 3\times 2
BC=\begin{bmatrix} 8 & -31\\[4pt] -6 & 15\\[4pt] 17 & 7 \end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix} 8 & -31\\[4pt] -6 & 15\\[4pt] 17 & 7 \end{bmatrix}]

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