Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
A C
Passo 1
O enunciado nos dá as matrizes (copiei-as do enunciado):
A pergunta que precisamos responder é: calcular o produto AC ou, se não for possível, explicar por que o produto não está definido.
Passo 2
Regra básica e definição de produto de matrizes (a regra que decide se o produto existe).
Seja M uma matriz de tamanho m\times n e N uma matriz de tamanho r\times p. O produto MN está definido se, e somente se, o número de colunas de M for igual ao número de linhas de N; isto é, se n=r. Nesse caso MN terá tamanho m\times p e sua entrada (i,j) é dada por
(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} M_{ik}\,N_{kj}.
Explicando as letras: m é o número de linhas de M, n é o número de colunas de M (e também o número de linhas de N necessário), p é o número de colunas de N; o índice k percorre as colunas de M e as linhas de N para formar o produto escalar que dá a entrada (i,j).
então o produto XY está definido (porque 3=3) e é 2\times2. A entrada (1,1) de XY vale
(XY)_{11}=1\cdot7+2\cdot9+3\cdot11=7+18+33=58.
Passo 3
Agora aplicando à nossa situação: contar dimensões das matrizes dadas.
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja A é 2\times3.
A matriz C tem 2 linhas e 2 colunas, ou seja C é 2\times2.
Para que o produto AC esteja definido precisamos que o número de colunas de A (que é 3) seja igual ao número de linhas de C (que é 2). Aqui claramente 3 \neq 2.
Passo 4
Conclusão direta da verificação anterior: como o número de colunas de A é diferente do número de linhas de C, o produto AC não está definido. Não há como aplicar a fórmula do produto de matrizes porque os “somatórios de produtos” pediriam um índice k que percorresse 3 colunas em A e 2 linhas em C ao mesmo tempo — isso é impossível quando os números são distintos.