Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
C D

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
C=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad D=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\end{pmatrix},
e pede para calcular o produto C D ou explicar por que ele não está definido. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
  • Dados: a matriz C de tamanho 2\times2 e a matriz D de tamanho 2\times1.
  • Pedido: calcular o produto matricial C D (ou justificar se não for possível).]

Passo 2

Regra de existência e fórmula do produto matricial (explicação didática).
  • Se X é uma matriz de tamanho m\times n e Y é uma matriz de tamanho n\times p, então o produto XY está definido e tem tamanho m\times p.
  • A regra de cálculo de entradas é: a entrada na linha i e coluna j de XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Isto significa: pega a i-ésima linha de X e a j-ésima coluna de Y e calcula o produto escalar (dot product) entre esses dois vetores — multiplica termo a termo e soma os resultados.
  • Aplicando ao nosso caso: C é 2\times2 e D é 2\times1. Como o número de colunas de C ( 2) é igual ao número de linhas de D ( 2), o produto C D está definido. O resultado terá tamanho 2\times1 (duas linhas, uma coluna).

Passo 3

Calcular a primeira entrada de C D (linha 1, coluna 1).
  • A primeira linha de C é (1,\,3).
  • A primeira (e única) coluna de D é \begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Aplicando a fórmula do produto escalar:
(CD)_{11}=1\cdot(-2)+3\cdot 3.
  • Calcule passo a passo:
1\cdot(-2)=-2,\qquad 3\cdot 3=9,
(CD)_{11}=-2+9=7.]

Passo 4

Calcular a segunda entrada de C D (linha 2, coluna 1).
  • A segunda linha de C é (-2,\,5).
  • A coluna de D é a mesma \begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Produto escalar:
(CD)_{21}=(-2)\cdot(-2)+5\cdot 3.
  • Calcule passo a passo:
(-2)\cdot(-2)=4,\qquad 5\cdot 3=15,
(CD)_{21}=4+15=19.]

Passo 5

Montar a matriz resultado usando as entradas calculadas.
  • Colocando as entradas (CD)_{11}=7 e (CD)_{21}=19 na forma de coluna, obtemos
CD=\begin{pmatrix}7\\[4pt]19\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}7\\[4pt]19\end{pmatrix}]

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