Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
A D

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto indicado ou explicar por que ele não está definido: A D.
As matrizes fornecidas (peguei do enunciado) são
A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\[4pt] -3 & -6 & 5\end{array}\right], \qquad D=\left[\begin{array}{r}-2 \\[4pt] 3\end{array}\right].
Vou também anotar as dimensões de cada uma:
  • A tem 2 linhas e 3 colunas, isto é, A é uma matriz de dimensão 2\times3.
  • D tem 2 linhas e 1 coluna, isto é, D é um vetor coluna de dimensão 2\times1.]

Passo 2

Explicando (passo a passo) a regra de multiplicação de matrizes, para você saber aplicar isso na prova.
Regra geral:
  • Se X é de dimensão m\times n e Y é de dimensão p\times q, então o produto XY está definido se, e somente se, n=p (o número de colunas de X deve ser igual ao número de linhas de Y).
  • Quando XY está definido, o resultado é uma matriz de dimensão m\times q e cada entrada é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui i indica a linha do produto, j a coluna do produto, e k percorre as posições que se multiplicam e somam.
Exemplo numérico pequeno (para ver como funciona na prática):
E=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]4 & 5 & 6\end{bmatrix}\quad(2\times3), \qquad v=\begin{bmatrix}7\\[4pt]8\\[4pt]9\end{bmatrix}\quad(3\times1).
Aqui E tem 3 colunas e v tem 3 linhas, então Ev está definido e é 2\times1. Calculando:
Ev=\begin{bmatrix} 1\cdot7+2\cdot8+3\cdot9\\[4pt] 4\cdot7+5\cdot8+6\cdot9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}50\\[4pt]122\end{bmatrix}.
Percebeu? O número de somandos em cada entrada é igual ao número de colunas de E (ou ao número de linhas de v).]

Passo 3

Agora aplicando a regra às matrizes dadas:
  • A é 2\times3 (tem 3 colunas).
  • D é 2\times1 (tem 2 linhas).
Para que AD estivesse definido precisaríamos que o número de colunas de A (que é 3) fosse igual ao número de linhas de D (que é 2). Como
3 \neq 2,
os formatos não batem e, portanto, o produto AD não está definido.
Observação útil para a prova: se o vetor à direita tivesse dimensão 3\times1 (ou seja, se D fosse um vetor coluna com 3 entradas), aí sim AD seria definido e daria uma matriz 2\times1. Outra alternativa definida com a D dada seria formar D^{T}A (pois D^{T} é 1\times2 e A é 2\times3, então D^{T}A seria 1\times3).

Resposta

O produto AD não está definido, pois A tem 3 colunas e D tem 2 linhas (os números internos de dimensões são diferentes, 3\neq2).

Exercícios relacionados