Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
A D
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto indicado ou explicar por que ele não está definido: A D.
A tem 2 linhas e 3 colunas, isto é, A é uma matriz de dimensão 2\times3.
D tem 2 linhas e 1 coluna, isto é, D é um vetor coluna de dimensão 2\times1.]
Passo 2
Explicando (passo a passo) a regra de multiplicação de matrizes, para você saber aplicar isso na prova.
Regra geral:
Se X é de dimensão m\times n e Y é de dimensão p\times q, então o produto XY está definido se, e somente se, n=p (o número de colunas de X deve ser igual ao número de linhas de Y).
Quando XY está definido, o resultado é uma matriz de dimensão m\times q e cada entrada é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui i indica a linha do produto, j a coluna do produto, e k percorre as posições que se multiplicam e somam.
Exemplo numérico pequeno (para ver como funciona na prática):
Percebeu? O número de somandos em cada entrada é igual ao número de colunas de E (ou ao número de linhas de v).]
Passo 3
Agora aplicando a regra às matrizes dadas:
A é 2\times3 (tem 3 colunas).
D é 2\times1 (tem 2 linhas).
Para que AD estivesse definido precisaríamos que o número de colunas de A (que é 3) fosse igual ao número de linhas de D (que é 2). Como
3 \neq 2,
os formatos não batem e, portanto, o produto AD não está definido.
Observação útil para a prova: se o vetor à direita tivesse dimensão 3\times1 (ou seja, se D fosse um vetor coluna com 3 entradas), aí sim AD seria definido e daria uma matriz 2\times1. Outra alternativa definida com a D dada seria formar D^{T}A (pois D^{T} é 1\times2 e A é 2\times3, então D^{T}A seria 1\times3).
Resposta
O produto AD não está definido, pois A tem 3 colunas e D tem 2 linhas (os números internos de dimensões são diferentes, 3\neq2).