Considere as matrizes:
& A=(ccc 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4 1 & 0 & 1 ) B=(ccc 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4 ) C=(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ) & D=(rrrr 6 & 3 & -1 & -1 -4 & -1 & 1 & 3 1 & -2 & 0 & 1 3 & 3 & -1 & -4 ) E=(rrrr 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0 ) F=(rrrr 1 & 2 & 1 & 0 -1 & 4 & 3 & 2 0 & 3 & 2 & 1 2 & 1 & 0 & -1 )
(b) Determine quais das matrizes acima são inversíveis e, neste caso, encontre sua matriz inversa.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes
A,;B,;Cin M3times3(R) e D,;E,;Fin M4times4(R)
são inversíveis e, quando inversível, calcular a sua inversa.
Conteúdo: critério de invertibilidade via determinante e cálculo de inversa por co-fator/ad-ju-gada ou eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 2

Calcular det de cada matriz e decidir invertibilidade.
det(A)=0, det(B)=6, det(C)=1, det(D)=0, det(E)=18, det(F)=0
Logo são invertíveis exatamente B,C,E.

Passo 3

Para B, usaremos a fórmula B^-1=1det(B)adj(B). Os cofatores Cij levam a
adj(B) = 7 & -3 & -1 1 & 3 & -1 -2 & 0 & 2 ^!T = 7 & 1 & -2 -3 & 3 & 0 -1 & -1 & 2 ,
portanto
B^-1=16 7 & 1 & -2 -3 & 3 & 0 -1 & -1 & 2 = 76 & !-12! & -16[6pt] 16 & 12 & -16[6pt] -13 & 0 & 13 ]

Passo 4

A matriz
C = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
é triangular inferior com diagonal unidade, logo C^-1=I-E onde E31=1. Assim
C^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1

Passo 5

Para
E = 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0
fizemos eliminação de Gauss-Jordan em [E mid I] e encontramos
E^-1 = 56 & 1 & -73 & 79[3pt] 13 & 0 & -13 & 19[3pt] -13 & 0 & 13 & 29[3pt] -16 & 0 & 23 & -29 ]

Resposta

As matrizes inversíveis são B, C e E, cujas inversas são:
B^-1 = 76 & -12 & -16[3pt] 16 & 12 & -16[3pt] -13 & 0 & 13 , C^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 , E^-1 = 56 & 1 & -73 & 79[3pt] 13 & 0 & -13 & 19[3pt] -13 & 0 & 13 & 29[3pt] -16 & 0 & 23 & -29 ]

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