Sejam A=[lll2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1], B=[rrr-2 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 13] e c=[r4 -2 1]. Responda os itens a seguir.
(c) (0,5 ponto) A é diagonalizável? Se sim, encontre uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1
é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de Bbb R^3 formada por autovetores de A. O conteúdo envolve encontrar autovalores e autovetores de A e montar uma matriz P invertível cujas colunas sejam esses autovetores, de modo que
P^-1 A P = D
seja diagonal.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1 = 2(mu<iplicidade 1), lambda2 = 1(mu<iplicidade 2)
Para ser diagonalizável, o espaço próprio de lambda=1 deve ter dimensão 2.

Passo 3

Autovetor para lambda=2:
A - 2I = 0 & 0 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 ,
resolvendo (A-2I)x=0 obtemos
x3=0, x1 - x2 =0
logo um gerador é
v1 = 110

Passo 4

Autovetores para lambda=1:
A - I = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
a equação (A-I)x=0 x1 + x3=0, com x2 e x3 livres. Assim
(x1,x2,x3) = s,(0,1,0) + t,(-1,0,1)
Dois geradores independentes são
v2 = 010, v3 = -101

Passo 5

Como temos três autovetores independentes, A é diagonalizável. Tomando
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
temos de fato
P^-1 A P = D

Resposta

A é diagonalizável. Por exemplo,
P = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
satisfazem P^-1AP = D.

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