Considere que A=[rrrrrr1 & 0 & 2 & -3 & -1 & -1 2 & -1 & 0 & 3 & 8 & 6 0 & 4 & -3 & 2 & -2 & 6 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 6] é a matriz aumentada de algum sistema linear. Resolva-o pelo método de eliminação de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas e pede para resolvê-lo por eliminação de Gauss. O conteúdo é escalonamento de matrizes, identificação de pivôs e variáveis livres. Vamos aplicar operações de linha para obter a forma reduzida e, em seguida, expressar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
(ccccc|c 1 & 0 & 2 & -3 & -1 & -1 2 & -1 & 0 & 3 & 8 & 6 0 & 4 & -3 & 2 & -2 & 6 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 6 )

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô na primeira coluna (posição (1,1)), usando
R2 R2 - 2,R1
e
R4 R4 - 2,R1.
O que resulta em
(ccccc|c 1 & 0 & 2 & -3 & -1 & -1 0 & -1 & -4 & 9 & 10 & 8 0 & 4 & -3 & 2 & -2 & 6 0 & 2 & -4 & 6 & 4 & 8 )

Passo 4

Escalonamos a segunda linha para pivô unitário em (2,2) com
R2 -1cdot R2,
depois eliminamos as entradas abaixo em (3,2) e (4,2) via
R3 R3 - 4,R2
e
R4 R4 - 2,R2.
Obtemos
(ccccc|c 1 & 0 & 2 & -3 & -1 & -1 0 & 1 & 4 & -9 & -10 & -8 0 & 0 & -19 & 38 & 38 & 38 0 & 0 & -12 & 24 & 24 & 24 )

Passo 5

Na terceira linha, tornamos o pivô unitário dividindo por -19:
R3 1-19,R3,
e zeramos abaixo em (4,3) via
R4 R4 + 12,R3.
Assim
(ccccc|c 1 & 0 & 2 & -3 & -1 & -1 0 & 1 & 4 & -9 & -10 & -8 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 6

Para chegar à forma reduzida, eliminamos acima dos pivôs em (3,3) e (2,2), aplicando
R1 R1 - 2,R3,
R2 R2 - 4,R3.
O escalonamento final é
(ccccc|c 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 3 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 7

Das equações resultantes:
x1 + x4 + 3x5 = 3, x2 - x4 - 2x5 = 0, x3 -2x4 -2x5 = -2,
escolhemos x4 = t e x5 = s como variáveis livres. Logo
x1 = 3 - t - 3s, x2 = t + 2s, x3 = -2 + 2t + 2s, x4 = t, x5 = s

Resposta

x1 = 3 - t - 3s,; x2 = t + 2s,; x3 = -2 + 2t + 2s,; x4 = t,; x5 = s, onde t,sinR

Exercícios relacionados