Sejam p1(x)=x^3+2 x^2+2, p2(x)=-x^2+4 x+2, p3(x)=2 x^3-3 x, p4(x)=-3 x^3+3 x^2+2 x, p5(x)=-x^3+8 x^2-2 x+2 e p(x)=-x^3+6 x^2+6 x+6. Sendo A=>=rp1, p2, p3, p4, p5, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas:
(d) p in A? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combinação linear de p1, p2, p3, p4 e p5.

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
p1(x)=x^3+2x^2+2,;p2(x)=-x^2+4x+2,;p3(x)=2x^3-3x,;p4(x)=-3x^3+3x^2+2x,;p5(x)=-x^3+8x^2-2x+2
e quer saber se
p(x)=-x^3+6x^2+6x+6
está em A=>=rp1,p2,p3,p4,p5.
Para isso, precisamos achar escalares a1,dots,a5 tais que
a1p1(x)+a2p2(x)+a3p3(x)+a4p4(x)+a5p5(x);=;p(x)

Passo 2

Igualando coeficientes de x^3,x^2,x,1 obtemos o sistema
a1+2a3-3a4-a5=-1
2a1-a2+3a4+8a5=6
4a2-3a3+2a4-2a5=6
2a1+2a2+2a5=6

Passo 3

Da última equação
2a1+2a2+2a5=6
segue
a1=3-a2-a5
Substituindo em
;2a1-a2+3a4+8a5=6
e em
;a1+2a3-3a4-a5=-1,
e simplificando junto com a terceira equação, chegamos às relações
-a2+a4+2a5=0,
-2a2+a3+2a5=-2,
2a2-a3-2a5=2
Note que a última é equivalente à anterior multiplicada por -1, logo há infinitas soluções.

Passo 4

Para encontrar uma solução fácil, escolhemos
;a2=1 e ;a5=0.
Então
a1=3-1-0=2, a4=a2-2a5=1, a3=2a2-2a5-2=0

Resposta

Sim, ;pinA, por exemplo
p(x)=2,p1(x)+1,p2(x)+0,p3(x)+1,p4(x)+0,p5(x)
ou simplesmente
p=2p1+p2+p4

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