Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que B = M - I. Sabendo que M é idempotente, isto é,
, e que B é inversível, podemos afirmar que:
(A) M é inversível.
(B) B é idempotente.
(C) B é antissimétrica.
(D)
.
(E) NDA.
(A) M é inversível.
(B) B é idempotente.
(C) B é antissimétrica.
(D)
(E) NDA.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas de ordem . -
. -
é idempotente, isto é, . -
é invertível.
A pergunta é: entre as alternativas (A)–(E), qual(es) podemos afirmar ser verdadeira(s)?
Passo 2
Usar a idempotência de
. A definição de idempotente é exatamente
. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Fatorando à esquerda temos a relação polinomial
Passo 3
Reconhecer
como
. Pela hipótese
, a igualdade anterior fica
Aqui é importante um fato elementar sobre matrizes: se
e
são matrizes compatíveis e
e, além disso,
é invertível, então necessariamente
. A prova rápida desse fato é multiplicar à direita por
:
Passo 4
Aplicando o fato anterior a
com
invertível, concluímos imediatamente
Ou seja,
é a matriz nula.
Passo 5
Verificação das alternativas com base em
:
- (A) “M é inversível.” Falso: a matriz nula não é inversível (exceto no caso degenerado
, que não é o caso usual). - (B) “B é idempotente.” Como
temos . Então . Para que fosse idempotente precisaríamos , i.e. , o que só ocorre em característica . Em geral (sobre ou ) isso é falso. - (C) “B é antissimétrica.” Com
tem-se , logo em geral (novamente só seria possível em característica ). Em geral é falso. - (D) “
.” Verdadeiro — acabamos de demonstrar. - (E) “NDA.” Falso, porque (D) é verdadeira.
Resposta
(D)