Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que B = M - I. Sabendo que M é idempotente, isto é, M^{2}=M, e que B é inversível, podemos afirmar que:
(A) M é inversível.
(B) B é idempotente.
(C) B é antissimétrica.
(D) \mathrm{M}=0.
(E) NDA.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • M e B são matrizes quadradas de ordem n.
  • B = M - I.
  • M é idempotente, isto é, M^{2}=M.
  • B é invertível.
A pergunta é: entre as alternativas (A)–(E), qual(es) podemos afirmar ser verdadeira(s)?

Passo 2

Usar a idempotência de M. A definição de idempotente é exatamente M^{2}=M. Subtraindo M de ambos os lados obtemos
M^{2}-M=0.
Fatorando à esquerda temos a relação polinomial
M(M-I)=0.

Passo 3

Reconhecer M-I como B. Pela hipótese B=M-I, a igualdade anterior fica
M B = 0.
Aqui é importante um fato elementar sobre matrizes: se X e Y são matrizes compatíveis e XY=0 e, além disso, Y é invertível, então necessariamente X=0. A prova rápida desse fato é multiplicar à direita por Y^{-1}:
XY=0 \quad\Rightarrow\quad XYY^{-1}=0Y^{-1}\quad\Rightarrow\quad X=0.

Passo 4

Aplicando o fato anterior a M B=0 com B invertível, concluímos imediatamente
M=0.
Ou seja, M é a matriz nula.

Passo 5

Verificação das alternativas com base em M=0:
  • (A) “M é inversível.” Falso: a matriz nula não é inversível (exceto no caso degenerado n=0, que não é o caso usual).
  • (B) “B é idempotente.” Como M=0 temos B= -I. Então B^{2}=(-I)^{2}=I. Para que B fosse idempotente precisaríamos B^{2}=B, i.e. I=-I, o que só ocorre em característica 2. Em geral (sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}) isso é falso.
  • (C) “B é antissimétrica.” Com B=-I tem-se B^{T}=-I=B, logo B^{T}\neq -B em geral (novamente só seria possível em característica 2). Em geral é falso.
  • (D) “ \mathrm{M}=0.” Verdadeiro — acabamos de demonstrar.
  • (E) “NDA.” Falso, porque (D) é verdadeira.

Resposta

(D) M=0

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