Sejam
e
o produto e a soma, respectivamente, dos dígitos do inteiro
. Por exemplo,
e
. Se
é um número de dois dígitos tal que
, qual é o digito das unidades de
?
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) 8
(E) 9
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) 8
(E) 9
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o dígito das unidades de um número de dois dígitos
que satisfaz a igualdade
, onde
é o produto dos dígitos de
e
é a soma dos dígitos de
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é um número de dois dígitos (logo tem um algarismo das dezenas não nulo). - Se os dígitos de
são a dezena e b unidade, então e . - Exemplo dado no enunciado:
e . (Isso só para entender as definições; não é usado diretamente na conta.)
Passo 2
Vamos representar o número e as quantidades em letras para manipular algebricamente:
- Seja
o dígito das dezenas de . Como é de dois dígitos, . - Seja
o dígito das unidades de . Então . - O número
vale . - O produto dos dígitos é
. - A soma dos dígitos é
.
Passo 3
Escrevemos a condição do problema usando essas expressões:
Passo 4
Simplificamos a equação. Subtraindo
dos dois lados (isso é legal, é uma operação equivalente), obtemos:
Agora fatoramos o lado direito em
:
Passo 5
Dividimos ambos os lados por
. Antes de dividir, verificamos que isso é permitido porque
(lembre:
é o dígito das dezenas de um número de dois dígitos). Assim:
Então isolamos
:
Passo 6
Interpretação: o dígito das unidades de
é
. Observação interessante (para fixar a ideia): qualquer número de dois dígitos com unidade
satisfaz a igualdade. Por exemplo:
- Para
: , , soma . - Para
: , , soma .
Isso confirma queresolve a equação para qualquer .