Sejam \mathrm{P}(\mathrm{n}) e \mathrm{S}(\mathrm{n}) o produto e a soma, respectivamente, dos dígitos do inteiro \mathbf{n}. Por exemplo, \mathrm{P}(25)=10 e S(25)=7. Se N é um número de dois dígitos tal que N=P(N)+S(N), qual é o digito das unidades de N ?
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) 8
(E) 9

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o dígito das unidades de um número de dois dígitos N que satisfaz a igualdade N=P(N)+S(N), onde P(N) é o produto dos dígitos de N e S(N) é a soma dos dígitos de N. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • N é um número de dois dígitos (logo tem um algarismo das dezenas não nulo).
  • Se os dígitos de N são a dezena e b unidade, então P(N)=a\cdot b e S(N)=a+b.
  • Exemplo dado no enunciado: P(25)=10 e S(25)=7. (Isso só para entender as definições; não é usado diretamente na conta.)

Passo 2

Vamos representar o número e as quantidades em letras para manipular algebricamente:
  • Seja a o dígito das dezenas de N. Como N é de dois dígitos, a\in\{1,2,\dots,9\}.
  • Seja b o dígito das unidades de N. Então b\in\{0,1,\dots,9\}.
  • O número N vale 10a+b.
  • O produto dos dígitos é P(N)=a\cdot b.
  • A soma dos dígitos é S(N)=a+b.

Passo 3

Escrevemos a condição do problema usando essas expressões:
10a+b = P(N)+S(N) = a\cdot b + a + b.

Passo 4

Simplificamos a equação. Subtraindo b dos dois lados (isso é legal, é uma operação equivalente), obtemos:
10a = a\cdot b + a.
Agora fatoramos o lado direito em a:
10a = a(b+1).

Passo 5

Dividimos ambos os lados por a. Antes de dividir, verificamos que isso é permitido porque a\neq 0 (lembre: a é o dígito das dezenas de um número de dois dígitos). Assim:
10 = b+1.
Então isolamos b:
b = 10-1 = 9.

Passo 6

Interpretação: o dígito das unidades de N é 9. Observação interessante (para fixar a ideia): qualquer número de dois dígitos com unidade 9 satisfaz a igualdade. Por exemplo:
  • Para N=19: P(19)=1\cdot9=9, S(19)=1+9=10, soma 9+10=19.
  • Para N=99: P(99)=9\cdot9=81, S(99)=9+9=18, soma 81+18=99.
    Isso confirma que b=9 resolve a equação para qualquer a\in\{1,\dots,9\}.

Resposta

9

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