Sejam M=cupxi Axi e M=cuplambda Blambda duas partições de um conjunto M. Perguntamos se a coleção de todos os conjuntos não vazios da forma Axi cap Blambda formam uma partição de M.

Passo 1

Resumindo: temos duas partições de M, a família Axixi e a família Blambdalambda. Queremos ver se a coleção
,Axicap Blambdamid Axicap Blambdaneqemptyset
é também uma partição de M. Lembrando que, por definição, uma coleção de subconjuntos de M é partição se (i) sua união é M e (ii) quaisquer dois conjuntos distintos são disjuntos.

Passo 2

Mostramos que a união das interseções é M. Seja xin M. Como Axi é partição, existe xi com xin Axi. E como Blambda é partição, existe lambda com xin Blambda. Logo
xin Axicap Blambda,
e portanto x está na união de todos os Axicap Blambda. Assim a união é M.

Passo 3

Mostramos que as interseções são duas a duas disjuntas. Tome dois blocos
Axicap Blambda e Axi'cap Blambda' distintos e suponha que sua interseção seja não vazia, isto é, existe x em ambas. Então
x in Axi cap Axi' Longrightarrow Axi = Axi' (pois as Axi são disjuntas), ã
e analogamente
x in Blambda cap Blambda' Longrightarrow Blambda = Blambda'
Logo xi = xi' e lambda = lambda', ou seja, os dois blocos coincidem. Isso mostra que, se forem distintos, devem ser disjuntos.

Passo 4

Como a união de todos os Axicap Blambda (não vazios) é M e blocos diferentes não se sobrepõem, por definição essa coleção é uma partição de M.

Resposta

Sim, a coleção de todos os conjuntos não vazios da forma ,Axicap Blambda forma uma partição de M.

Exercícios relacionados