Sejam
e
duas partições de um conjunto
. Perguntamos se a coleção de todos os conjuntos não vazios da forma
formam uma partição de
.
Passo 1
Resumindo: temos duas partições de
, a família
e a família
. Queremos ver se a coleção
é também uma partição de
. Lembrando que, por definição, uma coleção de subconjuntos de
é partição se (i) sua união é
e (ii) quaisquer dois conjuntos distintos são disjuntos.
Passo 2
Mostramos que a união das interseções é
. Seja
. Como
é partição, existe
com
. E como
é partição, existe
com
. Logo
e portanto
está na união de todos os
. Assim a união é
.
Passo 3
Mostramos que as interseções são duas a duas disjuntas. Tome dois blocos
e
distintos e suponha que sua interseção seja não vazia, isto é, existe
em ambas. Então
e analogamente
Logo
e
, ou seja, os dois blocos coincidem. Isso mostra que, se forem distintos, devem ser disjuntos.
Passo 4
Como a união de todos os
(não vazios) é
e blocos diferentes não se sobrepõem, por definição essa coleção é uma partição de
.
Resposta
Sim, a coleção de todos os conjuntos não vazios da forma
forma uma partição de
.