Enumere todas as relações no conjunto
. Quais delas são relações de equivalência em
? Quais relações são de ordem?
Passo 1
O enunciado pede para listar todas as relações em
, depois identificar quais são relações de equivalência e quais são relações de ordem (parciais).
Conteúdo necessário: definição de relação como qualquer subconjunto de , e critérios de
– equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva;
– ordem parcial: reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Conteúdo necessário: definição de relação como qualquer subconjunto de
– equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva;
– ordem parcial: reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Passo 2
O produto cartesiano é
Como uma relação é qualquer subconjunto de
, temos
relações ao todo.
Passo 3
Vamos numerar as 16 relações
listando os subconjuntos em ordem crescente de tamanho:
Passo 4
Para ser relação de equivalência em
precisa ser reflexiva (
), simétrica e transitiva.
Examinando, só duas relações satisfazem todos os três:
(identidade)
(relação universal)
Examinando, só duas relações satisfazem todos os três:
Passo 5
Para ser ordem parcial precisa ser reflexiva, antissimétrica e transitiva.
As que contêm e
e não violam antissimetria são exatamente três:
,
,
.
As que contêm
Resposta
Todas as 16 relações em
são
Relações de equivalência:
e
.
Relações de ordem parcial:
,
,
.