Encontre y^prime se x^y=y^x.
52. x^y=y^x Rightarrow y ln x=x ln y Rightarrow y cdot 1x+(ln x) cdot y^prime=x cdot 1y cdot y^prime+ln y Rightarrow y^prime ln x-xy y^prime=ln y-yx Rightarrow y^prime=ln y-y / xln x-x / y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
x^y = y^x
e pede para encontrar y' = dydx.
O conteúdo que vamos usar é derivação implícita combinada com logaritmos para simplificar a exponenciação.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para trazer os expoentes para baixo:
lnl(x^yr) = lnl(y^xr)
Como ln(a^b) = bln a, isso vira
y ln x = x ln y

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x. Para o lado esquerdo usamos regra do produto em yln x e para o direito em xln y:
ddxl(yln xr) = underbracey'ln xderivada de ycdotln x + underbraceycdot1xderivada de ln xcdot y
ddxl(xln yr) = underbrace1cdotln yderivada de xcdotln y + underbracexcdot1yy'derivada de ln ycdot x
Logo, igualando:
y'ln x + yx = ln y + xy,y'

Passo 4

Reagrupamos os termos que contêm y' de um lado e os que não contêm do outro:
y'ln x - xy,y' = ln y - yx
Fatorando y':
y'l(ln x - tfracxyr) = ln y - tfracyx

Passo 5

Isolamos y' dividindo pelo fator ao lado de y':
y' = ln y - dfracyxln x - dfracxy

Resposta

y' = ln y - tfracyxln x - tfracxy

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