Sejam m, n naturais. Dizemos que m >= n quando m=n+a para algum inteiro a. Prove as seguintes propriedades:
Se m >= n e n >= p, então m >= p.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três números naturais e uma relação definida por que significa que existe um número inteiro tal que . O objetivo é provar que se e , então necessariamente . Para resolver isso, vamos usar propriedades das operações com números naturais e a definição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a definição de m = n + a . Segundo o enunciado, isso significa que existe um inteiro tal que:
Aqui, é um número natural porque estamos trabalhando com números naturais.

Passo 3

De forma semelhante, a condição n = p + b significa que existe um inteiro tal que:
Novamente, é um número natural.

Passo 4

Agora, vamos substituir a expressão de m = n + a = (p + b) + a na equação de m = p + (a + b) :
Simplificando, temos:

Passo 5

Observamos que m = p + c é a soma de dois números naturais, o que também é um número natural. Vamos chamar essa soma de , onde .
Então, podemos reescrever a equação de :
Isso atende à definição de , pois existe um número natural tal que .

Resposta

Portanto, se e , então , conforme demonstrado.

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