Sejam
naturais. Dizemos que
quando
para algum inteiro
. Prove as seguintes propriedades:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três números naturais
e uma relação definida por
que significa que existe um número inteiro
tal que
. O objetivo é provar que se
e
, então necessariamente
. Para resolver isso, vamos usar propriedades das operações com números naturais e a definição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a definição de
. Segundo o enunciado, isso significa que existe um inteiro
tal que:
Aqui,
é um número natural porque estamos trabalhando com números naturais.
Passo 3
De forma semelhante, a condição
significa que existe um inteiro
tal que:
Novamente,
é um número natural.
Passo 4
Agora, vamos substituir a expressão de
na equação de
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Observamos que
é a soma de dois números naturais, o que também é um número natural. Vamos chamar essa soma de
, onde
.
Então, podemos reescrever a equação de
:
Isso atende à definição de
, pois existe um número natural
tal que
.
Resposta
Portanto, se
e
, então
, conforme demonstrado.