Sejam
), o espaço das funções contínuas de
em
.
a) Mostre que a função defina por
é um produto interno sobre
).
b) Com relação ao produto interno do item (
), sendo
e
pertencentes a
) calcule
e o ângulo entre
e
.
a) Mostre que a função defina por
b) Com relação ao produto interno do item (
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados.
- Dados:
, ou seja, e são funções contínuas em . - Definição proposta: para
define-se
- Perguntas:
(a) Mostrar que essa definição é um produto interno em, ou seja, verificar as propriedades exigidas para produto interno (simetria, linearidade em uma das entradas e positividade definida).
(b) Parae em calcular -
, -
(norma induzida pelo produto interno), -
(distância induzida), - o ângulo entre
e .
-
Passo 2
Propriedades que precisamos checar para
:
- Simetria: para todo
ter . - Linearidade em uma entrada (escolhemos linearidade na primeira): para escalares
e funções ter
- Positividade definida: para todo
, e implica (função identicamente zero em ).
Vou usar propriedades básicas da integral de funções contínuas e o fato de que produto de números reais é comutativo.
Passo 3
Simetria.
Para
vale ponto a ponto
. Portanto, usando essa igualdade dentro da integral,
Assim a simetria está verificada.
Passo 4
Linearidade na primeira entrada.
Sejam
e
. Pela linearidade da integral (propriedade básica: integral de soma é soma das integrais e constante sai da integral),
Ou seja,
Portanto a linearidade está verificada.
Passo 5
Positividade definida.
Para qualquer
temos
para todo
, então
Agora é preciso mostrar que se
então
.
Suponha que
não seja identicamente zero. Então existe
tal que
. Como
é contínua, existe um intervalo aberto
contendo
(ou seja, um
tal que
é não vazio) em que
é estritamente positiva — mais formalmente, tome
; pela continuidade existe
tal que
sempre que
, daí
nesse intervalo. Então em uma parcela de comprimento positivo temos
, o que implica
contradição com
. Logo a hipótese era falsa e devemos ter
. Assim a positividade definida está provada.
Passo 6
Conclusão do item (a).
Como verificamos simetria, linearidade na primeira entrada e positividade definida, a forma
é de fato um produto interno no espaço vetorial real
.
Passo 7
Agora parte (b): cálculo dos quantitativos para
e
em
.
Primeiro calculemos
. Use a identidade trigonométrica
Assim
A integral de
em um período inteiro é zero; calculando:
Portanto
Passo 8
Normas de
e
separadamente (serão úteis para o ângulo).
Calcule
. Use a identidade
Então
Assim
.
De forma análoga, usando
,
logo
.
Passo 9
Calcule
.
Expandindo,
Portanto
Assim
Passo 10
Calcule
.
Analogamente,
Usando as identidades já conhecidas isso fica
, então
logo
Passo 11
Ângulo entre
e
.
Em um espaço com produto interno real, o cosseno do ângulo
entre
e
é dado por
Aqui já calculamos
e
. Logo
Assim
(ou
): as funções
e
são ortogonais em
.
Resposta
ângulo entre