Sejam f, g \in C([a, b]) ; \mathbb{R} ), o espaço das funções contínuas de [a, b] em \mathbb{R}.
a) Mostre que a função defina por \langle f, g\rangle=\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x é um produto interno sobre C([a, b]) ; \mathbb{R} ).
b) Com relação ao produto interno do item ( a ), sendo f(x)=\sin x e g(x)=\cos x pertencentes a C([0,2 \pi]) ; \mathbb{R} ) calcule <f, g>,\|f+g\|, d(f, g) e o ângulo entre f e g.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Dados: f,g\in C([a,b];\mathbb{R}), ou seja, f e g são funções contínuas em [a,b].
  • Definição proposta: para f,g define-se
\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que essa definição é um produto interno em C([a,b];\mathbb{R}), ou seja, verificar as propriedades exigidas para produto interno (simetria, linearidade em uma das entradas e positividade definida).
    (b) Para f(x)=\sin x e g(x)=\cos x em [0,2\pi] calcular
    • \langle f,g\rangle,
    • \|f+g\| (norma induzida pelo produto interno),
    • d(f,g) (distância induzida),
    • o ângulo entre f e g.

Passo 2

Propriedades que precisamos checar para \langle\cdot,\cdot\rangle:
  1. Simetria: para todo f,g ter \langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle.
  2. Linearidade em uma entrada (escolhemos linearidade na primeira): para escalares \alpha,\beta e funções f,h,g ter
\langle \alpha f+\beta h,\,g\rangle=\alpha\langle f,g\rangle+\beta\langle h,g\rangle.
  1. Positividade definida: para todo f, \langle f,f\rangle\ge 0 e \langle f,f\rangle=0 implica f\equiv 0 (função identicamente zero em [a,b]).
Vou usar propriedades básicas da integral de funções contínuas e o fato de que produto de números reais é comutativo.

Passo 3

Simetria.
Para f,g\in C([a,b];\mathbb{R}) vale ponto a ponto f(x)g(x)=g(x)f(x). Portanto, usando essa igualdade dentro da integral,
\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx=\int_{a}^{b} g(x)f(x)\,dx=\langle g,f\rangle.
Assim a simetria está verificada.

Passo 4

Linearidade na primeira entrada.
Sejam \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f,h,g\in C([a,b];\mathbb{R}). Pela linearidade da integral (propriedade básica: integral de soma é soma das integrais e constante sai da integral),
\langle \alpha f+\beta h,\,g\rangle=\int_{a}^{b} (\alpha f(x)+\beta h(x))\,g(x)\,dx =\alpha\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx+\beta\int_{a}^{b} h(x)g(x)\,dx.
Ou seja,
\langle \alpha f+\beta h,\,g\rangle=\alpha\langle f,g\rangle+\beta\langle h,g\rangle.
Portanto a linearidade está verificada.

Passo 5

Positividade definida.
Para qualquer f\in C([a,b];\mathbb{R}) temos f(x)^2\ge 0 para todo x, então
\langle f,f\rangle=\int_{a}^{b} f(x)^2\,dx \ge 0.
Agora é preciso mostrar que se \langle f,f\rangle=0 então f\equiv 0.
Suponha que f não seja identicamente zero. Então existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}\neq 0. Como f é contínua, existe um intervalo aberto I contendo c (ou seja, um \delta>0 tal que (c-\delta,c+\delta)\cap[a,b] é não vazio) em que |f(x)| é estritamente positiva — mais formalmente, tome \varepsilon=\tfrac{|f\text{(c)}|}{2}>0; pela continuidade existe \delta>0 tal que |f(x)-f\text{(c)}|<\varepsilon sempre que |x-c|<\delta, daí |f(x)|>|f\text{(c)}|-\varepsilon=\tfrac{|f\text{(c)}|}{2}>0 nesse intervalo. Então em uma parcela de comprimento positivo temos f(x)^2\ge \left(\tfrac{|f\text{(c)}|}{2}\right)^2>0, o que implica
\int_{a}^{b} f(x)^2\,dx >0,
contradição com \langle f,f\rangle=0. Logo a hipótese era falsa e devemos ter f\equiv 0. Assim a positividade definida está provada.

Passo 6

Conclusão do item (a).
Como verificamos simetria, linearidade na primeira entrada e positividade definida, a forma
\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx
é de fato um produto interno no espaço vetorial real C([a,b];\mathbb{R}).

Passo 7

Agora parte (b): cálculo dos quantitativos para f(x)=\sin x e g(x)=\cos x em [0,2\pi].
Primeiro calculemos \langle f,g\rangle. Use a identidade trigonométrica
\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
Assim
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{2\pi} \sin x\cos x\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2x)\,dx.
A integral de \sin(2x) em um período inteiro é zero; calculando:
\int_{0}^{2\pi}\sin(2x)\,dx=\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{2\pi} =-\tfrac{1}{2}(\cos(4\pi)-\cos 0)=-\tfrac{1}{2}(1-1)=0.
Portanto
\langle f,g\rangle=0.

Passo 8

Normas de f e g separadamente (serão úteis para o ângulo).
Calcule \|f\|^{2}=\langle f,f\rangle=\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}x\,dx. Use a identidade
\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2x)).
Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}x\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,dx-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2x)\,dx =\tfrac{1}{2}(2\pi)-\tfrac{1}{2}\cdot 0=\pi.
Assim \|f\|=\sqrt{\pi}.
De forma análoga, usando \cos^{2}x=\tfrac{1}{2}(1+\cos(2x)),
\|g\|^{2}=\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}x\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2x)\,dx=\pi,
logo \|g\|=\sqrt{\pi}.

Passo 9

Calcule \|f+g\|.
\|f+g\|^{2}=\langle f+g,f+g\rangle=\int_{0}^{2\pi}(\sin x+\cos x)^{2}\,dx.
Expandindo,
(\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x=1+ \sin(2x).
Portanto
\|f+g\|^{2}=\int_{0}^{2\pi} (1+\sin(2x))\,dx=\int_{0}^{2\pi}1\,dx+\int_{0}^{2\pi}\sin(2x)\,dx=2\pi+0=2\pi.
Assim
\|f+g\|=\sqrt{2\pi}.

Passo 10

Calcule d(f,g)=\|f-g\|.
Analogamente,
\|f-g\|^{2}=\int_{0}^{2\pi}(\sin x-\cos x)^{2}\,dx=\int_{0}^{2\pi}(\sin^{2}x+\cos^{2}x-2\sin x\cos x)\,dx.
Usando as identidades já conhecidas isso fica 1-\sin(2x), então
\|f-g\|^{2}=\int_{0}^{2\pi} (1-\sin(2x))\,dx=2\pi-0=2\pi,
logo
d(f,g)=\|f-g\|=\sqrt{2\pi}.

Passo 11

Ângulo entre f e g.
Em um espaço com produto interno real, o cosseno do ângulo \theta entre f e g é dado por
\cos\theta=\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\|g\|}.
Aqui já calculamos \langle f,g\rangle=0 e \|f\|=\|g\|=\sqrt{\pi}. Logo
\cos\theta=\frac{0}{\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}=0.
Assim \theta=\tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ): as funções \sin x e \cos x são ortogonais em [0,2\pi].

Resposta

\langle f,g\rangle=0
\|f+g\|=\sqrt{2\pi}
d(f,g)=\sqrt{2\pi}
ângulo entre f e g: \tfrac{\pi}{2}

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