Sejam ( \mathbb{R}^{2},+,. ), ( \mathbb{R}^{3},+,. ) espaços vetoriais e a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y)=(x+y, y, x-y), \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2}
Encontre a matriz de T com relação às bases \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} e \mathcal{D}=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y)=(x+y,\;y,\;x-y),
e pede a matriz de T relativa à base padrão \mathcal{D}=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^{2} no domínio e à base padrão \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} no contradomínio. Para isso, vamos usar que a matriz de T tem como j-ésima coluna as coordenadas de T aplicado ao j-ésimo vetor de \mathcal{D}, expressas em \mathcal{B}.

Passo 2

Calculamos primeiro
T(1,0) = (1+0,\;0,\;1-0) = (1,0,1).
Como \mathcal{B} é a base padrão, as coordenadas de (1,0,1) em \mathcal{B} são exatamente \bigl(1,0,1\bigr). Essa será a primeira coluna da matriz.

Passo 3

Em seguida,
T(0,1) = (0+1,\;1,\;0-1) = (1,1,-1).
Analogamente, as coordenadas de (1,1,-1) em \mathcal{B} são \bigl(1,1,-1\bigr). Essa é a segunda coluna da matriz.

Resposta

A matriz de T relativa às bases \mathcal{D} (colunas) e \mathcal{B} (linhas) é
\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

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