Sejam ( \mathbb{R}^{3},+, .) espaço vetorial e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x-y, x-z, z-y), \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}
Mostre que T é uma transformação linear e verifique se T é um automorfismo de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado nos dá transformação T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x - y,\;x - z,\;z - y).
O conteúdo envolvido é transformação linear: vamos verificar que
T(u+v)=T(u)+T(v);
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Em seguida, para checar se T é um automorfismo, vamos analisar a invertibilidade de T por meio do determinante da matriz associada (ou do núcleo de T).