Sejam ( \mathbb{R}^{2},+,. ), ( \mathbb{R}^{3},+,. ) espaços vetoriais e a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y, z)=(x+y, x-z), \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}
Encontre a matriz de T com relação às bases \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} e \mathcal{D}=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \quad T(x,y,z) = (x+y,\;x-z)
e pede a matriz dessa transformação em relação à base canônica \mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^3
e à base canônica \mathcal{D}=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^2.
O conteúdo usado será a definição da matriz associada a uma transformação linear: cada coluna é a imagem de um vetor da base de origem, expressa na base de chegada.

Passo 2

Pela definição, se \mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3) é a base de \mathbb{R}^3 e \mathcal{D}=(d_1,d_2) é a base de \mathbb{R}^2, então a matriz [T]_{\mathcal{D},\mathcal{B}} tem como coluna j as coordenadas de T(b_j) na base \mathcal{D}.

Passo 3

Aplicamos T aos vetores de \mathcal{B}:
T(1,0,0) = (1+0,\;1-0) = (1,1),
T(0,1,0) = (0+1,\;0-0) = (1,0),
T(0,0,1) = (0+0,\;0-1) = (0,-1).
Como \mathcal{D} é a base canônica de \mathbb{R}^2, essas imagens já estão em coordenadas (1,0) e (0,1).

Passo 4

Organizando essas coordenadas como colunas, obtemos
[T]_{\mathcal{D},\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{D},\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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