O enunciado pede: determinar quais entre A,B,C são combinações lineares de A_{1},A_{2},A_{3}. Ou seja, para cada matriz teste X\in\{A,B,C\} verificar se existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha A_{1}+\beta A_{2}+\gamma A_{3}=X.
Informações relevantes: igualdade entre matrizes vale quando todas as entradas correspondentes são iguais; portanto a equação matricial resulta num sistema linear de 4 equações (uma por entrada) em 3 incógnitas (\alpha,\beta,\gamma). A resolução consistirá em escrever esse sistema e verificar se é consistente, encontrando os coeficientes quando possível.
Passo 2
Explico o método geral (didaticamente): supondo uma matriz alvo X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}\), a equação
\[\alpha A_{1}+\beta A_{2}+\gamma A_{3}=X
é equivalente a igualar entrada por entrada. Usando as entradas de A_{1},A_{2},A_{3} obtemos o sistema
Vou aplicar esse sistema com (x_{11},x_{12},x_{21},x_{22})\] iguais respectivamente às entradas de \(A,B,C. A técnica para resolver: usar operações elementares (subtrações de equações) para eliminar \alpha e obter equações para \beta e \gamma, verificar consistência com a terceira e quarta equações.]
Passo 3
Resolver para [A=\begin{pmatrix}4 & -5 \\\\ 9 & -7\end{pmatrix}).
Subtraio a segunda equação da primeira: (\alpha+3\beta-\gamma)-(\alpha+2\gamma)=4-(-5)\]. Isso dá
\[3\beta-3\gamma = 9 \quad\Rightarrow\quad \beta-\gamma = 3.\]
- Subtraio a segunda equação da quarta: \((\alpha-\beta+2\gamma)-(\alpha+2\gamma) = -7-(-5). Isso dá
-\beta = -2 \quad\Rightarrow\quad \beta = 2.
Usando \beta=2 na relação \beta-\gamma=3 obtemos
2-\gamma = 3 \quad\Rightarrow\quad \gamma = -1.
Uso a segunda equação para achar \alpha: \alpha+2\gamma=-5 implica
Subtraio a segunda equação da primeira: 3\beta-3\gamma = 3-1 = 2\], logo
\[\beta-\gamma = \tfrac{2}{3}.\]
- Subtraio a segunda equação da quarta: \(-\beta = 4-1 = 3, logo
\beta = -3.
Substituindo \beta=-3 na relação \beta-\gamma=\tfrac{2}{3} temos
Somando -\tfrac{50}{3}-\tfrac{55}{3}=-\tfrac{105}{3}=-35, e então -35-12=-47. O lado esquerdo vale -47, mas o lado direito requerido é -4. Há inconsistência.
Portanto não existem \alpha,\beta,\gamma que satisfaçam todas as quatro equações simultaneamente: B não é combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.]
Passo 5
Resolver para [C=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}).
Subtraio a segunda equação da primeira: 3\beta-3\gamma = -1-1 = -2\], portanto
\[\beta-\gamma = -\tfrac{2}{3}.\]
- Subtraio a segunda equação da quarta: \(-\beta = 1-1 = 0, portanto
\beta = 0.
Com \beta=0 a relação \beta-\gamma = -\tfrac{2}{3} dá