Sejam V=\mathbb{R}^{2 \times 2} e
A_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ 4 & -1 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right)
Quais dos vetores
A=\left(\begin{array}{cc} 4 & -5 \\\\ 9 & -7 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\\\ -4 & 4 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right)
são combinações lineares de A_{1}, A_{2} e A_{3} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas as matrizes
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix},\qquad A_{2}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 4 & -1\end{pmatrix},\qquad A_{3}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ 5 & 2\end{pmatrix}.
  • Os vetores (matrizes) teste são
A=\begin{pmatrix}4 & -5 \\\\ 9 & -7\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ -4 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.
O enunciado pede: determinar quais entre A,B,C são combinações lineares de A_{1},A_{2},A_{3}. Ou seja, para cada matriz teste X\in\{A,B,C\} verificar se existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha A_{1}+\beta A_{2}+\gamma A_{3}=X.
Informações relevantes: igualdade entre matrizes vale quando todas as entradas correspondentes são iguais; portanto a equação matricial resulta num sistema linear de 4 equações (uma por entrada) em 3 incógnitas ( \alpha,\beta,\gamma). A resolução consistirá em escrever esse sistema e verificar se é consistente, encontrando os coeficientes quando possível.

Passo 2

Explico o método geral (didaticamente): supondo uma matriz alvo X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}\), a equação \[\alpha A_{1}+\beta A_{2}+\gamma A_{3}=X
é equivalente a igualar entrada por entrada. Usando as entradas de A_{1},A_{2},A_{3} obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+3\beta-\gamma = x_{11},\\[4pt] \alpha+0\beta+2\gamma = x_{12},\\[4pt] -2\alpha+4\beta+5\gamma = x_{21},\\[4pt] \alpha-\beta+2\gamma = x_{22}. \end{cases}
Vou aplicar esse sistema com (x_{11},x_{12},x_{21},x_{22})\] iguais respectivamente às entradas de \(A,B,C. A técnica para resolver: usar operações elementares (subtrações de equações) para eliminar \alpha e obter equações para \beta e \gamma, verificar consistência com a terceira e quarta equações.]

Passo 3

Resolver para [A= \begin{pmatrix}4 & -5 \\\\ 9 & -7\end{pmatrix}).
O sistema fica
\begin{cases} \alpha+3\beta-\gamma = 4,\\[4pt] \alpha+2\gamma = -5,\\[4pt] -2\alpha+4\beta+5\gamma = 9,\\[4pt] \alpha-\beta+2\gamma = -7. \end{cases}
Eliminação passo a passo:
  • Subtraio a segunda equação da primeira: (\alpha+3\beta-\gamma)-(\alpha+2\gamma)=4-(-5)\]. Isso dá \[3\beta-3\gamma = 9 \quad\Rightarrow\quad \beta-\gamma = 3.\] - Subtraio a segunda equação da quarta: \((\alpha-\beta+2\gamma)-(\alpha+2\gamma) = -7-(-5). Isso dá
-\beta = -2 \quad\Rightarrow\quad \beta = 2.
  • Usando \beta=2 na relação \beta-\gamma=3 obtemos
2-\gamma = 3 \quad\Rightarrow\quad \gamma = -1.
  • Uso a segunda equação para achar \alpha: \alpha+2\gamma=-5 implica
\alpha + 2(-1) = -5 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -3.
  • Verificação rápida na terceira equação:
-2\alpha+4\beta+5\gamma = -2(-3)+4(2)+5(-1)=6+8-5=9,
coincide com o lado direito 9. Portanto o sistema é consistente e
\alpha=-3,\qquad \beta=2,\qquad \gamma=-1
satisfazem a equação. Conclusão: A é combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.]

Passo 4

Resolver para [B= \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ -4 & 4\end{pmatrix}).
O sistema fica
\begin{cases} \alpha+3\beta-\gamma = 3,\\[4pt] \alpha+2\gamma = 1,\\[4pt] -2\alpha+4\beta+5\gamma = -4,\\[4pt] \alpha-\beta+2\gamma = 4. \end{cases}
Eliminação:
  • Subtraio a segunda equação da primeira: 3\beta-3\gamma = 3-1 = 2\], logo \[\beta-\gamma = \tfrac{2}{3}.\] - Subtraio a segunda equação da quarta: \(-\beta = 4-1 = 3, logo
\beta = -3.
  • Substituindo \beta=-3 na relação \beta-\gamma=\tfrac{2}{3} temos
-3-\gamma = \tfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad \gamma = -\tfrac{11}{3}.
  • Da segunda equação \alpha+2\gamma=1 obtemos
\alpha = 1-2\gamma = 1-2\left(-\tfrac{11}{3}\right)=1+\tfrac{22}{3}=\tfrac{25}{3}.
  • Agora verifico a terceira equação: substituindo os valores achados
-2\alpha+4\beta+5\gamma = -2\left(\tfrac{25}{3}\right)+4(-3)+5\left(-\tfrac{11}{3}\right) = -\tfrac{50}{3}-12-\tfrac{55}{3}.
Somando -\tfrac{50}{3}-\tfrac{55}{3}=-\tfrac{105}{3}=-35, e então -35-12=-47. O lado esquerdo vale -47, mas o lado direito requerido é -4. Há inconsistência.
Portanto não existem \alpha,\beta,\gamma que satisfaçam todas as quatro equações simultaneamente: B não é combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.]

Passo 5

Resolver para [C= \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}).
O sistema fica
\begin{cases} \alpha+3\beta-\gamma = -1,\\[4pt] \alpha+2\gamma = 1,\\[4pt] -2\alpha+4\beta+5\gamma = -2,\\[4pt] \alpha-\beta+2\gamma = 1. \end{cases}
Eliminação:
  • Subtraio a segunda equação da primeira: 3\beta-3\gamma = -1-1 = -2\], portanto \[\beta-\gamma = -\tfrac{2}{3}.\] - Subtraio a segunda equação da quarta: \(-\beta = 1-1 = 0, portanto
\beta = 0.
  • Com \beta=0 a relação \beta-\gamma = -\tfrac{2}{3}
0-\gamma = -\tfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad \gamma = \tfrac{2}{3}.
  • Pela segunda equação \alpha+2\gamma=1 obtemos
\alpha = 1-2\gamma = 1-2\left(\tfrac{2}{3}\right)=1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Verificação na terceira equação:
-2\alpha+4\beta+5\gamma = -2\left(-\tfrac{1}{3}\right)+4(0)+5\left(\tfrac{2}{3}\right) = \tfrac{2}{3}+ \tfrac{10}{3}=\tfrac{12}{3}=4,
mas o lado direito requerido é -2. Portanto também há inconsistência.
Conclusão: C não é combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.]

Resposta

A: sim, com \alpha=-3,\\ \beta=2,\\ \gamma=-1.
B: não.
C: não.

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