O que preciso encontrar é um vetor u\in\mathbb{R}^3 tal que
[\,u\,] = W_{1}\cap W_{2},
isto é, o subespaço gerado por u (a reta através da origem com direção u) deve coincidir com a interseção dos dois subespaços dados. Vou listar também as informações úteis que já temos:
Todo vetor em W_{1} tem a forma (a,b,0) para alguns escalares a,b\in\mathbb{R} (porque W_{1} é o plano z=0).
Todo vetor em W_{2} é uma combinação linear de (1,2,3) e (1,-1,1).
Passo 2
Explicar a estratégia passo a passo (sem resolver ainda): um vetor v pertence à interseção W_{1}\cap W_{2} se e só se existir uma representação nas duas bases:
v = a(1,0,0) + b(0,1,0) = (a,b,0)
e ao mesmo tempo
v = c(1,2,3) + d(1,-1,1) = (c+d,\;2c-d,\;3c+d)
para alguns escalares a,b,c,d\in\mathbb{R}. Então basta igualar as componentes correspondentes dessas duas escritas e resolver para os parâmetros.
Passo 3
Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} a = c + d,\\[4pt] b = 2c - d,\\[4pt] 0 = 3c + d. \end{cases}
Aqui cada equação vem de igualar a primeira, segunda e terceira coordenadas, respectivamente.]
Passo 4
Resolver o sistema começando pela terceira equação, que é a mais simples:
0 = 3c + d \quad\Longrightarrow\quad d = -3c.
Substituindo d=-3c nas duas primeiras equações:
a = c + d = c - 3c = -2c,
b = 2c - d = 2c - (-3c) = 5c.
Portanto qualquer vetor v na interseção pode ser escrito como
v = (a,b,0) = (-2c,\,5c,\,0) = c(-2,5,0),
com c\in\mathbb{R}. Isso mostra que a interseção é uma reta unidimensional gerada por (-2,5,0).
Passo 5
Verificação rápida (controle): tomando c=1 e d=-3 temos
o que confirma que (-2,5,0)\in W_{2}, e obviamente (-2,5,0)\in W_{1} porque tem terceira componente zero. Logo [\,(-2,5,0)\,]\subseteq W_{1}\cap W_{2} e como já mostramos toda a interseção é gerada por esse vetor, temos igualdade.