Sejam \mathbb{V} e \mathbb{W} espaços vetoriais e T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{W} uma transformação linear. Prove que
Sejam T_{1}: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{W} e T_{2}: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{W} transformações lineares, e \beta_{1} e \beta_{2} escalares. Prove que T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{W}, definida por T(v)=\beta_{1} T_{1}(v)+\beta_{2} T_{2}(v) também é transformação linear.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, dadas duas transformações lineares
\displaystyle T_{1},T_{2}:\mathbb V\to\mathbb W e dois escalares \beta_{1},\beta_{2}, a aplicação
T:\mathbb V\to\mathbb W,\quad T(v)=\beta_{1}\,T_{1}(v)+\beta_{2}\,T_{2}(v)
é também linear. Para isso precisamos verificar que T satisfaz as duas propriedades de linearidade:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v) para todos u,v\in\mathbb V;
  2. homogeneidade: T(\alpha v)=\alpha\,T(v) para todo escalar \alpha e todo v\in\mathbb V.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam u,v\in\mathbb V. Então
T(u+v) =\beta_{1}\,T_{1}(u+v)+\beta_{2}\,T_{2}(u+v).
Como T_{1} e T_{2} são lineares,
\,T_{i}(u+v)=T_{i}(u)+T_{i}(v) para i=1,2. Logo
T(u+v) =\beta_{1}\bigl(T_{1}(u)+T_{1}(v)\bigr) +\beta_{2}\bigl(T_{2}(u)+T_{2}(v)\bigr).
Reagrupando termos,
T(u+v) =\bigl(\beta_{1}T_{1}(u)+\beta_{2}T_{2}(u)\bigr) +\bigl(\beta_{1}T_{1}(v)+\beta_{2}T_{2}(v)\bigr) =T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha um escalar e v\in\mathbb V. Então
T(\alpha v) =\beta_{1}\,T_{1}(\alpha v)+\beta_{2}\,T_{2}(\alpha v).
Pela linearidade de T_{1} e T_{2},
\,T_{i}(\alpha v)=\alpha\,T_{i}(v) para i=1,2. Portanto
T(\alpha v) =\beta_{1}\,\alpha\,T_{1}(v)+\beta_{2}\,\alpha\,T_{2}(v) =\alpha\bigl(\beta_{1}T_{1}(v)+\beta_{2}T_{2}(v)\bigr) =\alpha\,T(v).

Resposta

Concluímos que T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, logo T é transformação linear.

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