Sejam
e
espaços vetoriais e
uma transformação linear. Prove que
i)
ii)
para todo
iii)
para todo
e
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado afirma que
é linear, isto é, satisfaz para todos
e todo escalar
:
Usaremos apenas essas duas propriedades para provar:
i)
.
ii) .
iii) .
ii)
iii)
Passo 2
Prova de i). Como
é elemento neutro em
, vale
Aplicando
em ambos os lados e usando aditividade,
Na álgebra de
, somar um elemento a si mesmo dando o mesmo elemento só é possível se esse elemento for o neutro
. Logo,
Passo 3
Prova de ii). Em
temos
Aplicando
e usando aditividade,
Pelo passo anterior
, portanto
Assim
é o inverso aditivo de
em
, isto é,
Passo 4
Prova de iii) por indução em
.
Base
.
é justamente a homogeneidade de
.
Passo indutivo: suponha que para algum
já valha
Considere agora
escalares e vetores. Na soma em
escrevemos
Aplicando
e usando aditividade e homogeneidade,
onde no segundo passo usamos a hipótese de indução. Concluímos
Isso encerra a indução e prova a afirmação para todo
.
Resposta
As três propriedades foram demostradas usando apenas a definição de transformação linear.