Sejam \mathbb{V} e \mathbb{W} espaços vetoriais e T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{W} uma transformação linear. Prove que
i) T\left(\overline{0}_{\mathbb{V}}\right)=\overline{0}_{\mathbb{W}}
ii) T(-v)=-T(v) para todo v \in \mathbb{V}
iii) T\left(\alpha_{1} v_{1}+\ldots+\alpha_{n} v_{n}\right)=\alpha_{1} T\left(v_{1}\right)+\ldots+\alpha_{n} T\left(v_{n}\right) para todo \alpha_{i} \in \mathbb{R} e v_{i} \in \mathbb{V}

Passo 1

O enunciado afirma que T\colon \mathbb{V}\to\mathbb{W} é linear, isto é, satisfaz para todos u,v\in\mathbb{V} e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}:
T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(\alpha\,v)=\alpha\,T(v).
Usaremos apenas essas duas propriedades para provar:
i) T(\overline{0}_{\mathbb{V}})=\overline{0}_{\mathbb{W}}.
ii) T(-v)=-T(v).
iii) T(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}) =\alpha_{1}T(v_{1})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}).

Passo 2

Prova de i). Como \overline{0}_{\mathbb{V}} é elemento neutro em \mathbb{V}, vale
\overline{0}_{\mathbb{V}} =\overline{0}_{\mathbb{V}}+\overline{0}_{\mathbb{V}}.
Aplicando T em ambos os lados e usando aditividade,
T(\overline{0}_{\mathbb{V}}) = T(\overline{0}_{\mathbb{V}}+\overline{0}_{\mathbb{V}}) = T(\overline{0}_{\mathbb{V}})+T(\overline{0}_{\mathbb{V}}).
Na álgebra de \mathbb{W}, somar um elemento a si mesmo dando o mesmo elemento só é possível se esse elemento for o neutro \overline{0}_{\mathbb{W}}. Logo,
T(\overline{0}_{\mathbb{V}}) =\overline{0}_{\mathbb{W}}.

Passo 3

Prova de ii). Em \mathbb{V} temos
\overline{0}_{\mathbb{V}}=v+(-v).
Aplicando T e usando aditividade,
T(\overline{0}_{\mathbb{V}}) = T\bigl(v+(-v)\bigr) = T(v)+T(-v).
Pelo passo anterior T(\overline{0}_{\mathbb{V}})=\overline{0}_{\mathbb{W}}, portanto
\overline{0}_{\mathbb{W}} = T(v)+T(-v).
Assim T(-v) é o inverso aditivo de T(v) em \mathbb{W}, isto é,
T(-v)=-\,T(v).

Passo 4

Prova de iii) por indução em n.
Base n=1.
T(\alpha_1v_1)=\alpha_1\,T(v_1)
é justamente a homogeneidade de T.
Passo indutivo: suponha que para algum n\ge1 já valha
T\bigl(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\bigr) =\alpha_{1}T(v_{1})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}).
Considere agora n+1 escalares e vetores. Na soma em \mathbb{V} escrevemos
\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i v_i =\Bigl(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i\Bigr)+\alpha_{n+1}v_{n+1}.
Aplicando T e usando aditividade e homogeneidade,
T\Bigl(\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i v_i\Bigr) = T\Bigl(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i\Bigr) +T(\alpha_{n+1}v_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n}\alpha_iT(v_i) +\alpha_{n+1}T(v_{n+1}),
onde no segundo passo usamos a hipótese de indução. Concluímos
T\Bigl(\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i v_i\Bigr) =\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_iT(v_i).
Isso encerra a indução e prova a afirmação para todo n.

Resposta

As três propriedades foram demostradas usando apenas a definição de transformação linear.

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