Prove que as seguintes funções são transformações lineares:
(Multiplicação por matriz) Fixada matriz A_{m \times n}, T: \mathbb{R}_{n \times 1} \rightarrow \mathbb{R}_{m \times 1} definida por T(X)=A X.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
\displaystyle T:\mathbb{R}^{n\times1}\to\mathbb{R}^{m\times1}
por
T(X)=A\,X,
onde A é uma matriz fixa de dimensão m\times n.
O conteúdo aqui é transformação linear entre espaços vetoriais. Para provar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades, usando as leis de multiplicação de matrizes:
  1. Aditividade: T(X+Y)=T(X)+T(Y).
  2. Homogeneidade: T(\alpha X)=\alpha\,T(X).

Passo 2

Sejam X,Y\in\mathbb{R}^{n\times1}. Então, pela distributividade da multiplicação de matriz sobre soma de vetores,
T(X+Y)=A\,(X+Y)=A\,X + A\,Y = T(X)+T(Y).

Passo 3

Seja \alpha\in\mathbb{R} e X\in\mathbb{R}^{n\times1}. Pela propriedade de escalar na multiplicação de matriz por vetor,
T(\alpha X)=A\,(\alpha X)=\alpha\,(A\,X)=\alpha\,T(X).

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

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