Prove que as seguintes funções são transformações lineares:
(Multiplicação por matriz) Fixada matriz
definida por
.
(Multiplicação por matriz) Fixada matriz
Passo 1
O enunciado define a aplicação
por
por
onde
é uma matriz fixa de dimensão
.
O conteúdo aqui é transformação linear entre espaços vetoriais. Para provar que é linear, precisamos verificar duas propriedades, usando as leis de multiplicação de matrizes:
O conteúdo aqui é transformação linear entre espaços vetoriais. Para provar que
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Sejam
. Então, pela distributividade da multiplicação de matriz sobre soma de vetores,
Passo 3
Seja
e
. Pela propriedade de escalar na multiplicação de matriz por vetor,
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é de fato uma transformação linear.