Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de
:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se esse conjunto é um subgrupo de
.
Vou listar claramente o que isso significa (o que o enunciado pede) e o que foi dado:
- Dado: o conjunto
de todas as matrizes superiores triangulares com entrada inferior esquerda igual a , com entradas reais sem restrição adicional. - Pergunta:
é um subgrupo de ? Ou seja, é um subconjunto de fechado sob o produto e inverso (com a operação sendo a multiplicação de matrizes)?]
Passo 2
Relembrando o que é
e o que é ser subgrupo (aulas rápidas e úteis):
-
é o grupo de todas as matrizes invertíveis com entradas reais, com a operação sendo multiplicação de matrizes. - Uma condição necessária para um subconjunto
ser subgrupo de é que ; ou seja, todo elemento de deve ser invertível. - Outra forma prática de testar se um subconjunto
é subgrupo: verificar se é não vazio, fechado por multiplicação e fechado por inverso (ou equivalente: não vazio e fechado por produto e inverso).
Vou também lembrar a fórmula que usamos para decidir invertibilidade de uma matriz
:
- Para uma matriz
o determinante é . - A matriz é invertível se e somente se
.]
Passo 3
Verificação imediata:
está contido em
?
- Para que
fosse verdade, todas as matrizes do tipo deveriam ser invertíveis, ou seja, ter determinante não nulo. - Calcule o determinante geral de uma matriz genérica de
:
- Portanto uma matriz em
é invertível exatamente quando (ou seja, e ). Mas em não foi exigido ou diferentes de zero.]
Passo 4
Exemplo concreto de elemento de
que não está em
:
- Escolha
, , . Então
- O determinante é
, logo não é invertível e portanto . - Conclusão imediata:
não está contido em . Como condição necessária para ser subgrupo de é ser subconjunto de , segue que não pode ser subgrupo de .]
Passo 5
Comentário didático extra (útil para a prova): que conjunto parecido seria subgrupo?
- Se restringirmos a matrizes triangulares superiores com diagonais não nulas, isto é
então
. Mostro por que
é subgrupo de
:
- Fechamento por produto: o produto de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior; se
e têm , o produto tem diagonal e , ambos não nulos, logo o produto permanece em . - Fechamento por inverso: a inversa de uma matriz triangular superior com diagonais não nulas é outra triangular superior com diagonais
e (fórmula direta ou cálculo por adjunta). Assim o inverso também pertence a . - Portanto
é um subgrupo (é, na verdade, o subgrupo das matrizes triangulares superiores invertíveis).]
Passo 6
Recap rápido e incentivo: resumindo o raciocínio — para ser subgrupo de
é preciso ser conjunto de matrizes invertíveis;
permite
ou
iguais a zero, então tem elementos não invertíveis; logo
não é subgrupo. Se for preciso na prova, mostre um exemplo explícito de matriz não invertível em
(como
) e cite a condição do determinante.]