Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de G L(2) :
G=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} ; a, b, c \in \mathbb{R}\right\}\

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
G=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times2}\;;\;a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
e pede para verificar se esse conjunto é um subgrupo de GL(2).
Vou listar claramente o que isso significa (o que o enunciado pede) e o que foi dado:
  • Dado: o conjunto G de todas as matrizes superiores triangulares com entrada inferior esquerda igual a 0, com entradas reais a,b,c sem restrição adicional.
  • Pergunta: G é um subgrupo de GL(2)? Ou seja, G é um subconjunto de GL(2) fechado sob o produto e inverso (com a operação sendo a multiplicação de matrizes)?]

Passo 2

Relembrando o que é GL(2) e o que é ser subgrupo (aulas rápidas e úteis):
  • GL(2) é o grupo de todas as matrizes 2\times2 invertíveis com entradas reais, com a operação sendo multiplicação de matrizes.
  • Uma condição necessária para um subconjunto H ser subgrupo de GL(2) é que H\subseteq GL(2); ou seja, todo elemento de H deve ser invertível.
  • Outra forma prática de testar se um subconjunto H é subgrupo: verificar se H é não vazio, fechado por multiplicação e fechado por inverso (ou equivalente: não vazio e fechado por produto e inverso).
Vou também lembrar a fórmula que usamos para decidir invertibilidade de uma matriz 2\times2:
  • Para uma matriz \begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix} o determinante é \det=\;xw-yz.
  • A matriz é invertível se e somente se \det\neq0.]

Passo 3

Verificação imediata: G está contido em GL(2)?
  • Para que G\subseteq GL(2) fosse verdade, todas as matrizes do tipo \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix} deveriam ser invertíveis, ou seja, ter determinante não nulo.
  • Calcule o determinante geral de uma matriz genérica de G:
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}=a\cdot c - b\cdot 0 = a c.
  • Portanto uma matriz em G é invertível exatamente quando a c \neq 0 (ou seja, a\neq0 e c\neq0). Mas em G não foi exigido a ou c diferentes de zero.]

Passo 4

Exemplo concreto de elemento de G que não está em GL(2):
  • Escolha a=0, b=0, c=1. Então
M=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\in G.
  • O determinante é \det(M)=0\cdot 1=0, logo M não é invertível e portanto M\notin GL(2).
  • Conclusão imediata: G não está contido em GL(2). Como condição necessária para ser subgrupo de GL(2) é ser subconjunto de GL(2), segue que G não pode ser subgrupo de GL(2).]

Passo 5

Comentário didático extra (útil para a prova): que conjunto parecido seria subgrupo?
  • Se restringirmos a matrizes triangulares superiores com diagonais não nulas, isto é
H=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times2}\;:\;a\neq0,\;c\neq0\right\},
então H\subseteq GL(2). Mostro por que H é subgrupo de GL(2):
  • Fechamento por produto: o produto de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior; se \begin{pmatrix}a_1&b_1\\[4pt]0&c_1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}a_2&b_2\\[4pt]0&c_2\end{pmatrix} têm a_i\neq0,c_i\neq0, o produto tem diagonal a_1a_2 e c_1c_2, ambos não nulos, logo o produto permanece em H.
  • Fechamento por inverso: a inversa de uma matriz triangular superior com diagonais não nulas é outra triangular superior com diagonais 1/a e 1/c (fórmula direta ou cálculo por adjunta). Assim o inverso também pertence a H.
  • Portanto H é um subgrupo (é, na verdade, o subgrupo das matrizes triangulares superiores invertíveis).]

Passo 6

Recap rápido e incentivo: resumindo o raciocínio — para ser subgrupo de GL(2) é preciso ser conjunto de matrizes invertíveis; G permite a ou c iguais a zero, então tem elementos não invertíveis; logo G não é subgrupo. Se for preciso na prova, mostre um exemplo explícito de matriz não invertível em G (como \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}) e cite a condição do determinante.]

Resposta

G não é subgrupo de GL(2).

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