Em \left(\mathbb{Z}_{24},+\right), mostre que A=2 \mathbb{Z}_{24}=\left\{2 \bar{m}, \bar{m} \in \mathbb{Z}_{24}\right\}, B=\{\overline{0} ; \overline{6} ; \overline{12} ; \overline{18}\} e C=\{\overline{0} ; \overline{12}\} são subgrupos.
Passo 1
O enunciado dá o grupo \left(\mathbb{Z}_{24},+\right) (classes residuais módulo 24 com adição) e pede para mostrar que as três partes abaixo são subgrupos:
As informações relevantes: o elemento neutro do grupo é \overline{0}; a operação é adição módulo 24; inverso de \overline{x} é \overline{-x} (ou \overline{24-x} se preferir representá-lo positivo).
Passo 2
Regra prática que vamos usar (teste de subgrupo em grupos aditivos): para um subconjunto H de um grupo aditivo, H é subgrupo se, e somente se,
H não é vazio (ou contém \overline{0});
para quaisquer h_1,h_2\in H vale h_1+h_2\in H (fechamento por soma);
para qualquer h\in H vale -h\in H (fechamento por inversos).
Uma forma equivalente, e frequentemente mais curta em grupos abelianos, é: H não vazio e fechado por diferença, isto é, h_1-h_2\in H para quaisquer h_1,h_2\in H. Vou aplicar a versão com soma e inverso porque fica bem explícita.
Exemplo simples antes de aplicar: no grupo (\mathbb{Z},+) o conjunto dos inteiros pares é subgrupo porque soma de pares é par e o inverso (negativo) de um par é par. O mesmo raciocínio vale em \mathbb{Z}_{24}.
Passo 3
Mostrar que A=2\mathbb{Z}_{24} é subgrupo.
Não vazio / contém neutro: \;2\overline{0}=\overline{0}\in A, logo A não é vazio e contém o neutro \overline{0}.
Fechamento por soma: tome quaisquer elementos x,y\in A. Por definição existem \bar a,\bar b\in\mathbb{Z}_{24} tais que x=2\bar a e y=2\bar b. Então
x+y=2\bar a+2\bar b=2(\bar a+\bar b).
Como \bar a+\bar b\in\mathbb{Z}_{24}, segue que x+y\in A. Portanto A é fechado por soma.
Fechamento por inverso: para x=2\bar a\in A seu inverso aditivo é -x=-2\bar a. Mas -2\bar a=2(-\bar a) e -\bar a\in\mathbb{Z}_{24}, logo -x\in A. Assim A é fechado por inversos.
Com 1–3 satisfeitos, A é subgrupo de \mathbb{Z}_{24}. Observação adicional (útil na prova): A é o subgrupo gerado por \overline{2}, isto é A=\langle\overline{2}\rangle, e tem 12 elementos (os resíduos pares).
Passo 4
Mostrar que B=\{\overline{0},\overline{6},\overline{12},\overline{18}\} é subgrupo.
Uma forma direta é escrever B=6\mathbb{Z}_{24}=\{\;6\bar m:\bar m\in\mathbb{Z}_{24}\;\} (peguei essa forma observando que 6\cdot 0,6\cdot1,6\cdot2,6\cdot3 produzem exatamente os quatro elementos listados). Agora aplico o mesmo teste que usei para A.
Neutro: 6\overline{0}=\overline{0}\in B.
Soma: para x=6\bar a\in B e y=6\bar b\in B,
x+y=6\bar a+6\bar b=6(\bar a+\bar b)\in B,
pois \bar a+\bar b\in\mathbb{Z}_{24}.
Inverso: para x=6\bar a\in B temos -x=-6\bar a=6(-\bar a)\in B.
Portanto B é subgrupo. Observação útil: B=\langle\overline{6}\rangle e tem 4 elementos (ordem 4).
Passo 5
Mostrar que C=\{\overline{0},\overline{12}\} é subgrupo.
Aqui dá para verificar diretamente:
Neutro: \overline{0}\in C.
Soma: as possíveis somas entre os elementos de C são
Todas as somas ficam em C, então C é fechado por soma.
Inverso: -\overline{0}=\overline{0}\in C e -\overline{12}=\overline{12} (porque \overline{12} tem ordem 2), logo inversos estão em C.
Assim C é subgrupo. Também podemos dizer C=\langle\overline{12}\rangle e tem ordem 2.
Passo 6
Comentário final (contexto que ajuda na prova): \mathbb{Z}_{24} é um grupo cíclico; seus subgrupos são exatamente os subgrupos gerados por \overline{d} onde d divide 24. Os conjuntos A,B,C são precisamente os subgrupos gerados por \overline{2},\overline{6},\overline{12} respectivamente, com ordens 12,4,2. Isso confirma de forma conceitual por que eles são subgrupos (mas as verificações anteriores são suficientes e elementares).
Resposta
A é subgrupo de \mathbb{Z}_{24}.\n B é subgrupo de \mathbb{Z}_{24}.\n C é subgrupo de \mathbb{Z}_{24}.