Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária com condição inicial e pede a função solução que satisfaz essa condição. Informações fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
.
O objetivo é encontrar explicitamenteque satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
como derivada de
em relação a
. Temos
, então a equação é
A ideia é isolar termos com
de um lado e termos com
do outro (separação de variáveis). Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isso nos deixa prontos para integrar cada lado em sua variável.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Explico as integrais usadas:
- Regra básica:
para . - Para polinômios em
, integra-se termo a termo.
Integração do lado esquerdo:
Integração do lado direito (expandindo antes):
então
onde
é a constante de integração. Igualando as duas integrais:
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
e
na expressão integrada:
Calculemos
: primeiro
, e elevando ao quadrado novamente dá
. Logo
Portanto a solução geral ajustada pela condição inicial é
Passo 5
Simplificar o lado direito observando um quadrado perfeito:
Portanto
Tomando a quarta raiz de ambos os lados, lembrando que a raiz quarta admite sinais positivos e negativos,
Para escolher o sinal correto, usamos a condição inicial: em
queremos
. Avaliando a expressão com sinal positivo dá
, com sinal negativo dá
. Então devemos escolher o sinal negativo.
Passo 6
Conclusão final: a solução que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é
Observações rápidas e úteis para a prova: esta solução está definida para todo
real (porque
sempre) e permanece negativa, então não cruza
(onde a equação original tem singularidade). A separação de variáveis e a atenção ao sinal ao extrair raízes são os pontos-chave deste tipo de problema.