1. y^{\prime}=\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{4 y^{3}}, \quad y(0)=-\frac{1}{\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária com condição inicial e pede a função solução que satisfaz essa condição. Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é y'=\dfrac{x\left(x^{2}+1\right)}{4 y^{3}}.
  • A condição inicial é y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
    O objetivo é encontrar explicitamente y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever y' como derivada de y em relação a x. Temos y'=\dfrac{dy}{dx}, então a equação é
\frac{dy}{dx}=\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{4 y^{3}}.
A ideia é isolar termos com y de um lado e termos com x do outro (separação de variáveis). Multiplicando ambos os lados por 4y^{3}\,dx obtemos
4y^{3}\,dy = x\left(x^{2}+1\right)\,dx.
Isso nos deixa prontos para integrar cada lado em sua variável.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Explico as integrais usadas:
  • Regra básica: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
  • Para polinômios em x, integra-se termo a termo.
Integração do lado esquerdo:
\int 4y^{3}\,dy = 4\cdot\frac{y^{4}}{4} = y^{4}.
Integração do lado direito (expandindo antes):
x\left(x^{2}+1\right)=x^{3}+x,
então
\int x\left(x^{2}+1\right)\,dx = \int x^{3}\,dx + \int x\,dx = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Igualando as duas integrais:
y^{4} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Substituindo x=0 e y(0) na expressão integrada:
\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4} = \frac{0^{4}}{4} + \frac{0^{2}}{2} + C.
Calculemos \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}: primeiro \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}, e elevando ao quadrado novamente dá \dfrac{1}{4}. Logo
\frac{1}{4} = C.
Portanto a solução geral ajustada pela condição inicial é
y^{4} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4}.

Passo 5

Simplificar o lado direito observando um quadrado perfeito:
\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{x^{4} + 2x^{2} + 1}{4} = \frac{(x^{2}+1)^{2}}{4}.
Portanto
y^{4} = \frac{(x^{2}+1)^{2}}{4}.
Tomando a quarta raiz de ambos os lados, lembrando que a raiz quarta admite sinais positivos e negativos,
y = \pm \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{2}}.
Para escolher o sinal correto, usamos a condição inicial: em x=0 queremos y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Avaliando a expressão com sinal positivo dá +\dfrac{1}{\sqrt{2}}, com sinal negativo dá -\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Então devemos escolher o sinal negativo.

Passo 6

Conclusão final: a solução que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é
y(x) = -\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{2}}.
Observações rápidas e úteis para a prova: esta solução está definida para todo x real (porque \sqrt{x^{2}+1}>0 sempre) e permanece negativa, então não cruza y=0 (onde a equação original tem singularidade). A separação de variáveis e a atenção ao sinal ao extrair raízes são os pontos-chave deste tipo de problema.

Resposta

y(x)=-\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{2}}

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