Sejam \mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle, \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle \mathrm{e} \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle. Determine
\mathbf{u} \times(\mathbf{v} \times \mathbf{w})

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço e pede um produto vetorial aninhado. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Vetores fornecidos:
    \mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle,
    \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle,
    \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle.
  • O que se pede:
    Calcular \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).

Passo 2

Escolha do método e por quê.
  • Há duas maneiras naturais de resolver: (A) calcular primeiro \mathbf{v}\times\mathbf{w} e depois \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) por definição do produto vetorial; ou (B) usar a identidade do produto vetorial aninhado (identidade triple product) que simplifica muito as contas: \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
  • Vou usar (B) porque é mais direto: substitui um produto vetorial duplo por combinações de produtos escalares e multiplicações escalares de vetores, o que reduz bastante o trabalho manual e facilita conferir o resultado.

Passo 3

Lembrete das definições básicas que vou usar (aula rápida e prática).
  • Produto escalar (dot product): para \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.É um número (escalar).
  • Multiplicação de vetor por escalar: se \lambda é escalar e \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle, então \lambda\mathbf{a}=\langle \lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3\rangle.
  • Produto vetorial (cross product) em componentes: para \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle, \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\rangle.Esse produto dá um vetor perpendicular a ambos \mathbf{a} e \mathbf{b}.

Passo 4

Aplico a identidade do produto vetorial aninhado com \mathbf{a}=\mathbf{u},\\ \mathbf{b}=\mathbf{v},\\ \mathbf{c}=\mathbf{w}:
\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=\mathbf{v}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-\mathbf{w}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).
Ou seja, preciso calcular os dois produtos escalares \mathbf{u}\cdot\mathbf{w} e \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, depois formar as combinações escalares dos vetores \mathbf{v} e \mathbf{w}.

Passo 5

Calcular os produtos escalares detalhadamente.
  • Primeiro \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}: \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=2\cdot1+(-1)\cdot4+3\cdot5=2-4+15=13.
  • Depois \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\cdot0+(-1)\cdot1+3\cdot7=0-1+21=20.

Passo 6

Formar a combinação indicada pela identidade e calcular componente a componente.
  • Multiplicações escalares: 13\mathbf{v}=13\langle 0,1,7\rangle=\langle 0,13,91\rangle,
20\mathbf{w}=20\langle 1,4,5\rangle=\langle 20,80,100\rangle.
  • Subtração componente a componente: \mathbf{v}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-\mathbf{w}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) =\langle 0,13,91\rangle-\langle 20,80,100\rangle =\langle 0-20,\;13-80,\;91-100\rangle.Portanto \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=\langle -20,-67,-9\rangle.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, para garantir que não houve erro aritmético): calcular diretamente \mathbf{v}\times\mathbf{w} e depois \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
  • Calcular \mathbf{v}\times\mathbf{w} usando a fórmula de componentes: \mathbf{v}\times\mathbf{w}=\langle 1\cdot5-7\cdot4,\;7\cdot1-0\cdot5,\;0\cdot4-1\cdot1\rangle =\langle 5-28,\;7-0,\;0-1\rangle =\langle -23,7,-1\rangle.
  • Agora \mathbf{u}\times\langle -23,7,-1\rangle. Usando a fórmula: \mathbf{u}\times\langle -23,7,-1\rangle =\langle (-1)(-1)-3\cdot7,\;3(-23)-2(-1),\;2\cdot7-(-1)(-23)\rangle.Calculando cada componente: \text{1ª comp.: }(-1)(-1)-3\cdot7=1-21=-20,ª
\text{2ª comp.: }3(-23)-2(-1)=-69+2=-67,ª
\text{3ª comp.: }2\cdot7-(-1)(-23)=14-23=-9.ª
Resultado: \langle -20,-67,-9\rangle, que confirma o valor obtido com a identidade.

Resposta

\langle -20,-67,-9\rangle

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