Sejam
. Determine
Passo 1
O enunciado dá três vetores no espaço e pede um produto vetorial aninhado. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
-
Vetores fornecidos:
,
,
. -
O que se pede:
Calcular.
Passo 2
Escolha do método e por quê.
- Há duas maneiras naturais de resolver: (A) calcular primeiro
e depois por definição do produto vetorial; ou (B) usar a identidade do produto vetorial aninhado (identidade triple product) que simplifica muito as contas: - Vou usar (B) porque é mais direto: substitui um produto vetorial duplo por combinações de produtos escalares e multiplicações escalares de vetores, o que reduz bastante o trabalho manual e facilita conferir o resultado.
Passo 3
Lembrete das definições básicas que vou usar (aula rápida e prática).
- Produto escalar (dot product): para
e , É um número (escalar). - Multiplicação de vetor por escalar: se
é escalar e , então - Produto vetorial (cross product) em componentes: para
, , Esse produto dá um vetor perpendicular a ambos e .
Passo 4
Aplico a identidade do produto vetorial aninhado com
:
Ou seja, preciso calcular os dois produtos escalares
e
, depois formar as combinações escalares dos vetores
e
.
Passo 5
Calcular os produtos escalares detalhadamente.
- Primeiro
: - Depois
:
Passo 6
Formar a combinação indicada pela identidade e calcular componente a componente.
- Multiplicações escalares:
- Subtração componente a componente:
Portanto
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, para garantir que não houve erro aritmético): calcular diretamente
e depois
.
- Calcular
usando a fórmula de componentes: - Agora
. Usando a fórmula: Calculando cada componente:
Resultado:
, que confirma o valor obtido com a identidade.