Encontre um vetor unitário u na mesma direção do vetor \mathbf{v}.
\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{v} e pede um vetor unitário \mathbf{u} que tenha a mesma direção de \mathbf{v}. Informações fornecidas:
  • \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Objetivo: encontrar \mathbf{u} tal que \|\mathbf{u}\|=1 e \mathbf{u} tenha a mesma direção de \mathbf{v}.]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): um vetor unitário é um vetor com comprimento (norma) igual a 1. Para obter um vetor unitário na mesma direção de um vetor qualquer \mathbf{v}, divide-se \mathbf{v} pela sua norma. A fórmula de normalização é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},
onde \|\mathbf{v}\| é a norma de \mathbf{v}, definida para um vetor em \mathbb{R}^2 por
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}},
com v_1 e v_2 sendo as componentes de \mathbf{v}. Aqui v_1=1 e v_2=3.

Passo 3

Calcular a norma de \mathbf{v}. Aplicando a fórmula:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Portanto a norma de \mathbf{v} é \sqrt{10} (aproximadamente 3{,}1623, se precisar de valor numérico).

Passo 4

Agora dividir cada componente de \mathbf{v} por \|\mathbf{v}\|=\sqrt{10}. As componentes do vetor unitário são:
\text{primeira componente: }\frac{1}{\sqrt{10}}, \qquad \text{segunda componente: }\frac{3}{\sqrt{10}}.
Obs.: se quiser eliminar a raiz no denominador (racionalizar), pode reescrever
\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}, \qquad \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.

Passo 5

Verificação rápida (para a prova é bom sempre checar): calcular a norma do vetor formado pelas componentes acima para confirmar que dá 1:
\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^{2}+\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1+9}{10}}=\sqrt{1}=1.
Isso confirma que as componentes encontradas formam um vetor unitário.

Passo 6

Dica prática para prova: passo a passo rápido — calcule a norma com \sqrt{v_1^2+v_2^2} e depois divida cada componente por essa norma. Não precisa racionalizar a menos que peçam.

Resposta

\mathbf{u}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}]

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