Encontre um vetor unitário u na mesma direção do vetor \mathbf{v}.
\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}a \\\\ -b\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: encontrar um vetor unitário u que esteja na mesma direção do vetor dado.
  • Dado: o vetor \displaystyle \mathbf{v}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]-b\end{pmatrix}, com a e b números reais (não foi dito nada sobre serem zero).
  • Observação importante: se \displaystyle a=0 e \displaystyle b=0 simultaneamente, \mathbf{v} é o vetor nulo e não existe vetor unitário “na mesma direção” (direção do vetor nulo é indeterminada). Vamos assumir que \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, ou seja, que pelo menos um entre a e b é diferente de zero.]

Passo 2

Definição útil: o que é um vetor unitário e por que normalizar.
  • Um vetor unitário é um vetor com norma (comprimento) igual a 1.
  • Em \mathbb{R}^2, a norma euclidiana de um vetor \displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} é
\|\mathbf{x}\|=\sqrt{x_1^{2}+x_2^{2}}.
  • Para obter um vetor unitário na mesma direção de \mathbf{v} basta dividir \mathbf{v} pela sua norma: \displaystyle \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}. Isso garante que \mathbf{u} tenha mesmo sentido/ direção que \mathbf{v} e norma 1.

Passo 3

Calcular a norma de \mathbf{v}.
  • As componentes de \mathbf{v} são x_1=a e x_2=-b.
  • Aplicando a fórmula da norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  • Nota: aqui usei a propriedade (-b)^{2}=b^{2}. A raiz é não negativa, então \|\mathbf{v}\|\ge 0. Pelo passo 1 assumimos \|\mathbf{v}\|>0.

Passo 4

Construir o vetor unitário dividindo por \|\mathbf{v}\|.
  • Usando \displaystyle \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} e o valor da norma,
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\begin{pmatrix}a\\[4pt]-b\end{pmatrix}.
  • Este fator escalar é positivo (a raiz é positiva), portanto \mathbf{u} tem a mesma direção e o mesmo sentido de \mathbf{v} (não o sentido oposto).]

Passo 5

Verificar que \mathbf{u} é realmente unitário.
  • Calcule a norma ao quadrado de \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\bigl(a^{2}+(-b)^{2}\bigr) =\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1.
  • Como \|\mathbf{u}\|^{2}=1, segue que \|\mathbf{u}\|=1. Logo \mathbf{u} é unitário e está na mesma direção de \mathbf{v}.

Passo 6

Comentário final curto e motivador.
  • Resumindo: normalizar é sempre dividir pelo comprimento. Se em prova pedirem “mesma direção e módulo 1”, faça sempre \mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|. Se der zero no denominador, escreva que o vetor nulo não tem direção definida — atenção nesse caso.

Resposta

\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\begin{pmatrix}a\\[4pt]-b\end{pmatrix}]

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