Encontre um vetor unitário u na mesma direção do vetor \mathbf{v}. \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}a \\\\ -b\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
Pede: encontrar um vetor unitário u que esteja na mesma direção do vetor dado.
Dado: o vetor \displaystyle \mathbf{v}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]-b\end{pmatrix}, com a e b números reais (não foi dito nada sobre serem zero).
Observação importante: se \displaystyle a=0 e \displaystyle b=0 simultaneamente, \mathbf{v} é o vetor nulo e não existe vetor unitário “na mesma direção” (direção do vetor nulo é indeterminada). Vamos assumir que \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, ou seja, que pelo menos um entre a e b é diferente de zero.]
Passo 2
Definição útil: o que é um vetor unitário e por que normalizar.
Um vetor unitário é um vetor com norma (comprimento) igual a 1.
Em \mathbb{R}^2, a norma euclidiana de um vetor \displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} é
\|\mathbf{x}\|=\sqrt{x_1^{2}+x_2^{2}}.
Para obter um vetor unitário na mesma direção de \mathbf{v} basta dividir \mathbf{v} pela sua norma: \displaystyle \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}. Isso garante que \mathbf{u} tenha mesmo sentido/ direção que \mathbf{v} e norma 1.
Como \|\mathbf{u}\|^{2}=1, segue que \|\mathbf{u}\|=1. Logo \mathbf{u} é unitário e está na mesma direção de \mathbf{v}.
Passo 6
Comentário final curto e motivador.
Resumindo: normalizar é sempre dividir pelo comprimento. Se em prova pedirem “mesma direção e módulo 1”, faça sempre \mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|. Se der zero no denominador, escreva que o vetor nulo não tem direção definida — atenção nesse caso.